Đề thi chọn học sinh giỏi trường Quế Võ I năm học 2008-2009 môn: Toán – khối 11

Sở gd & đt bắc ninh
Trường thpt quế võ 1
Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
độc lập – tự do – hạnh phúc
 ..*****..
đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2008-2009
Môn: Toán – Khối 11
(Thời gian làm bài 150 phút(không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2 điểm)
Giải phương trình: 
Tìm m để phương trình sau có nghiệm 
.
	Câu 2 (2 điểm)
Giải bất phương trình: 
Tìm m để hệ: có nghiệm.
Câu 3 (2 điểm)
	Cho các số: 1, 2, 3, 4
Hỏi lập được bao nhiêu số có 5 chữ số trong đó có hai chữ số 1 và ba chữ số còn lại khác nhau và khác số1
Tính tổng các số lập được ở câu 1).
Câu 4 (3 điểm) 
Lập phương trình đường tròn (C) qua điểm A(-1; -2) và tiếp xúc với đường thẳng d : tại điểm M(1; 2).
Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M sao cho AM = AB. Gọi E là trung điểm của CA.
Xác định thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (MEB’)
Gọi D = BC (MEB’), K = AA’ (MEB’). Tính tỷ số và .
Câu 5 (1 điểm)
	Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: .
Ghi chú: - Học sinh không được sử dụng tài liệu trong quá trình thi.
 - Đề thi có 01 trang.
đáp án – thang điểm
đề thi học sinh giỏi cấp trường năm học 2008-2009
Môn: Toán – lớp 11
Câu
Nội dung
Điểm
1
2,00
1(1,0 đ)
+) Điều kiện
+) Tìm được tanx = 1 hoặc tanx = 0
+) GiảI đúng và loại nghiệm đúng. ĐS: 
0,25
0,25
0,5
2(1,0 đ)
+) Đưa PT về dạng: (1)
+) Đặt t = cos4x với t(-1; 0)
+) Xét f(t) = 2t2 + t trên (-1; 0) có bảng biến thiên
Và PT (1) có nghiệm khi đường thẳng y = 2m +1 (song song hoặc trùng 0x )cắt f(t) trên (-1; 0)
+) ĐS: 
0,25
0,25
0,25
0,25
2
2,00
1(1,0 đ)
+) Điều kiện: 
+) Với x=1 BPT hiển nhiên đúng suy ra x=1 là nghiệm
+) Với suy ra BPT chỉ ra vô nghiệm
+) Với suy ra BPT . 
Chỉ ra nghiệm 
+) Kết luận: BPT có nghiệm 
0,25
0,25
0,25
0,25
2(1,0 đ)
+) Đặt 
+) Đưa về hệ: 
+) Điều kiện để hệ (**) có nghiệm 
 Ta xét hệ có nghiệm hay ko
 Biến đổi hệ (**) trở thành: 
+) Xét hệ (I): u=v ta được 2v2+v+2-m=0 có với PT luôn có nghiệm hệ có nghiệm u=v=v0 suy ra hệ ban đầu có x=y=vo2+1
+) Xét hệ (II): .
0,25
0,25
0,25
0,25
3
2,0 đ
1(1,0 đ)
+) Mỗi số có 5 chữ số gồm 2 số 1 và 3 số khác là hoán vị 5 phần tử 1,1,2,3,4 do 2 số 1 khi hoán vị vẫn được 1 số vậy các số cần lập là 
1,0
2(1,0 đ)
+) Số có 5 chữ số có dạng 
 Mỗi số a có 4! cách chọn -> Mỗi số xuất hiện 4! lần
 Tương tự 
Vậy 
1,0
4
3,0 đ
1(1,0 đ)
+) Viết được PT đường thẳng đi qua tâm I của đường tròn (C) là từ đó suy ra I(1+7t;2-t)
+) (C) tiếp xúc với d khi và chỉ khi IM=R IM2=R2 R2=50t2
+) (C) có dạng (x-1-7t)2+(y-2+t)2=50t2
+) A (C) t=-1. Vậy (C): (x+6)2+(y-3)2=50
0,25
0,25
0,25
0,25
2(2,0 đ)
a,(0,75)
+) Xác định được điểm D và suy ra được 2 đoạn giao tuyến DE và DD’
+) Xác định được điểm K; suy ra được đoạn gioa tuyến EK và KB’
+) Kết luận được thiết diện là tứ giác DEKB’
b,(1,25)
+) Xét tam giác MBB’ có 
+) Trong (ABC). Dựng EN // AB (NBC), khi đó EN=
+) Xét tam giác DBM có: 
 Suy ra D là trung điểm CN. Vậy 
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,5
5
1,0 đ
Tìm Max y: (1)
Ta chứng minh: với (2)
 (3) 
Theo BĐT côsi:
BĐT (3) luôn đúng suy ra BĐT (2) luôn đúng suy ra 
Dấu “=” . Max y=
Tương tự: , 
Min đạt 
0,25
0,25
0,25
0,25