Đề thi chọn học sinh giỏi Trường THCS Lập Lê năm học 2014 - 2015 môn Toán 9

UBND HUYỆN THUỶ NGUYấN
PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG THCS LẬP LỄ
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2014 - 2015
Kớ hiệu mó đề:......... 
MễN THI: TOÁN 9
Thời gian: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
Bài 1: (1,5 đ )Rỳt gọn biểu thức 
 a / A = 
 b/ 
Bài 2: (1,5 đ ) 
 a/Cho số thực x>2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 
b/ Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh: .
Bài 3: (2 đ)
 a/Tỡm tất cả cỏc số tự nhiờn n sao cho số 28 + 211 + 2n là số chớnh phương .
 b/Chứng minh rằng, "n ẻ Z+ , ta cú : .
Bài 4: (1 đ )Trong mặt phẳng tọa độ O xy cho các điểm A (2;2), B (-2;1) và C(4;-3) .Tìm phương trình đường trung tuyến AM của tam giác ABC 
Bài 5: (1,0 đ )Cho tam giỏc ABC, BC= a, AC=b, AB=c. Chứng minh 
Bài 6: ( 3,0 đ ) Trên đường thẳng d lấy hai điểm A, B trong cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d ta dựng hai tia A x , By cùng vuông góc với d và trên A x lấy một điểm C , trên By lấy một điểm D .
 Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để CD tiếp xúc với đường tròn đường kính AB là AB2 = 4 AC . BD 
 .... ............ Hết.................
Người ra đề
(Kớ, ghi rừ họ tờn)
Người thẩm định
(Kớ, ghi rừ họ tờn)
BGH nhà trường
(Kớ tờn, đúng dấu)
 Đinh Thị Thanh Mây
UBND HUYỆN THUỶ NGUYấN
PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG THCS LẬP LỄ
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG 
MễN: TOÁN 9
NĂM HỌC 2014 - 2015
Kớ hiệu mó HDC: .......
Bài
Đáp án
Điểm 
1
a/ Nhận xét : A > 0 
 Ta có
 A2 = 4++ 2 .+4 - 
 = 8 + 2 = 8 + 2 = 8 + 2 ( - 1) = 6 + 2 
 Vì A > 0 
 Nên : A = = = + 1 ( + 1 > 0 )
b/ Ta hóy chứng minh : 
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,75 đ
2
 a / A = = x2 – 6x + 9 + x – 2 + + 2012
 = ( x – 3 ) 2 + x – 2 + + 2012 
 Ta có : ( x – 3 ) 2 0 với mọi x thuộc R 
 x – 2 + 2 với mọi x > 2 
 suy ra : A = ( x – 3 ) 2 + x – 2 + + 2012 2014 
 Dấu “ = “” xảy ra khi và chỉ khi x- 2 = 
 ( x – 2 )2 = 1 x- 2 = 1 hoặc x- 2 = -1 
 x= 3 thoả mãn x >2 
 hoặc x= 1 không thoả mãn x >2 
 Vậy : giá trị nhỏ nhất của A = 2014 x= 3
b/Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh: .
Ta cú: 
Từ (3) ta suy ra: (x-y) là ước của 5, hay 
Từ đú ta đưa về giải cỏc hệ phương trỡnh bậc nhất hai ẩn x và y ta tỡm được cỏc nghiệm sau: (-1;1); (1;2); (3;-2); (-7;-2).
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
3
 a/ Tỡm tất cả cỏc số tự nhiờn n sao cho số 28 + 211 + 2n là số chớnh phương .
Giả sử 28 + 211 + 2n = a2 (a N) thỡ 
 2n = a2 – 482 = (a+48)(a-48)
 2p.2q = (a+48)(a-48) Với p, q N ; p+q = n và p > q
 a+48 = 2p 2p – 2q = 96 2q (2p-q -1) = 25.3 
 a - 48 = 2q 
 q = 5 và p-q = 2 p = 7
 n = 5+7 = 12
Thử lại ta cú: 28 + 211 + 2n = 802
b/ . Ta cú : 
= . Do đú : .
Vậy : 
= (Điều phải chứng minh ).
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0, 25 đ
0,5 đ
0,25 đ
4
Toạ độ trung điểm M của BC là ( 1; -1 )
 Gọi phương trình đường trung tuyến AM có dạng : y = a x + b 
- Vì đường trung tuyến AM đi qua A ( 2 ; 2 ) 
 Nên ta có : 2 = 2 a + b ( 1 )
Vì đường trung tuyến AM đi qua M 
Nên ta có : - 1 = a + b ( 2) 
Từ (1) và ( 2 ) ta có hệ phương trình 
 Vậy : Phương trình đường trung tuyến AM là : y = 3x- 4 
0.25 đ
0,5 đ
0,25 đ
Vẽ đường phõn giỏc AD của tam giỏc ABC
Ta cú =
Vẽ BI AD BI BD
Ta cú . Vậy 
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25đ
 Chứng minh hai mệnh đề :
 a/ giả sử ta có AB2 = 4 AC . BD (1) thì CD tiếp xúc với đường 
 tròn đường kính AB 
 - Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB .
 Từ O kẻ OI CD . 
 Do OA = 1/2 AB nên (1) có thể viết 
 - AC. BD = OA 2 AC : OA = OA : BD 
 AC : OA = OB : BD 
 Δ AOC ~ ΔBDO , Cho ta : O1 = C 1 ; O2 = D1
 mà C1 = C2 , D1 = D2 COD = 900
Trong tam giác vuông COD thì COI = D2 . 
Vậy O2 = COI 
 Suy ra : ΔCOI = ΔCAO OI = OA =OB .
 Vậy : điểm I nằm trên đường tròn đường kính AB 
 Hay: CD tiếp xúc với đường tròn đường kính AB .
 b/ Giả sử CD tiếp xúc với đường tròn đường kính AB thì hệ thức 
 AB 2= 4 AC. BD được thỏa mãn .
 - Gọi I là tiếp điểm thì OI = AB / 2 
 - Dựa vào tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta chứng minh được 
 COD = 900
 - Mặt khác :AC = CI và BD = BI . 
Trong tam giác vuông COI ; OI là đường cao nên OI2 = CI . DI 
 AC. BD = OI 2 = AC . BD = AB 2/ 2 AB2 = 4 AC . BD
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
Chú ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho diểm tối đa
Người ra đề
(Kớ, ghi rừ họ tờn)
Người thẩm định
(Kớ, ghi rừ họ tờn)
BGH nhà trường
(Kớ tờn, đúng dấu)
 Đinh Thị Thanh Mây