Đề thi chọn học sinh giỏi văn hoá cấp tỉnh Bắc Giang năm học 2012-2013 môn thi: Toán - lớp 11 chuyên

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
BẮC GIANG 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
Đề thi có 01 trang 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH 
NĂM HỌC 2012-2013 
MÔN THI: TOÁN - LỚP 11 CHUYÊN 
Ngày thi:31 /03/2013 
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề 
Câu 1. (4 điểm) 
 1) Giải phương trình 
2sin 2 cos 2 4sin cos 3sin 2 os2 2cos 3 0,x x x x x c x x+ − − − + = (x ∈ℝ ). 
 2) Giải phương trình 
21 7 3 2 0,x x x x− + + + − − = (x ∈ℝ ). 
Câu 2. (4 điểm) 
 1) Giải hệ phương trình 
2
2
2
2 2
2
0
1
2 1 3,
y
x y
x x
x
x y
y

+ + =
+ +

 + + + =

 (x, y ∈ℝ ). 
 2) Cho n là số nguyên dương thoả mãn: 1 2 31 2 3 ... 128 .n
n n n n
C C C nC n+ + + + = 
Tìm hệ số của x6 trong khai triển thành đa thức của 
1( ) 2(1 ) (2 )n nf x x x x += + + + . 
Câu 3. (4 điểm) 
 1) Cho dãy số (un) được xác định như sau 
1
1
1
1 2013
, 1.
2n n
n
x
x x n
x
+
=

 
= + ≥ 
 
Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn và tìm lim
n
n
x
→+∞
. 
 2) Tính giới hạn 
3
0
4 . 1 2 2lim
x
x x
x→
+ + −
. 
Câu 4. (6 điểm) 
 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Đường thẳng chứa cạnh BD có 
phương trình: 2x + y – 1 = 0. Điểm M(6;-1) và điểm N(2;1) lần lượt nằm trên các đường thẳng (AB), 
(AD). Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết B có hoành độ dương. 
 2) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với 
mặt phẳng (ABCD). Góc giữa SB và (ABCD) bằng 600. Gọi N là trung điểm BC. 
 a. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SD và AN. 
 b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và DN. 
Câu 5. (2 điểm) 
Cho A, B, C là ba góc của một tam giác. Chứng minh rằng 
sin sin sin 1.
os os os
2 2 2
A B C
A B C
c c c
+ + ≤
+ +
--------------------------------Hết------------------------------- 
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
Họ và tên thí sinh................................................ Số báo danh:................................................. 
Giám thị 1: (Họ tên và ký)......................................................................................................... 
Giám thị 2: (Họ tên và ký)......................................................................................................... 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
BẮC GIANG 
HƯỚNG DẪN CHẤM 
BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH 
NGÀY THI 31 /3/2013 
MÔN THI: TOÁN LỚP 11 CHUYÊN 
Bản hướng dẫn chấm có 03 .trang 
Câu Phương pháp – Kết quả Điểm 
Câu I 1) Phương trình đã cho tương đương với 
sin 2x(2cos2 x -1) + 4sin x cos2 x –3sin2x –(2cos2 x – 1 ) –2cos x + 3 = 0 
⇔ (2sin2xcos2x – 2cos2 x) + (4sinxcos2 x – 2cos x) – 4sin 2x + 4 = 0 
⇔ 2cos2x(sin2x – 1) + 2cos x(sin2x – 1) – 4(sin 2x - 1) = 0 
⇔ (sin 2x - 1)(cos2 x + cos x - 2) = 0 
⇔ 
sin 2 1
cos 1 4
2cos 2
x
x k
x
x kx
pi
pi
pi
= 
= + 
= ⇔ 
= = − 
2) Điều kiên x ≥ 1 
Phương trình tương đương với 
( ) ( ) 21 1 7 3 3 2 0
2 2 ( 1)( 2) 0
1 1 7 3
1 1( 2) 1 0 (*)
1 1 7 3
x x x x
x x
x x
x x
x x
x x
− − + + − + − + =
− −
⇔ + + − − =
− + + +
 
⇔ − + + − = 
− + + + 
Vì x ≥ 1 nên 1 1 1
1 1 7 3
x
x x
+ + −
− + + +
 > 0 
Do đó (*) ⇔ x – 2 = 0 ⇔ x = 2. 
1 
1 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
Câu II 1) Điều kiện y ≠ 0. 
 Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với 
2 2( 1 ) 0x y x x y+ + − + = 
2
2
1 0
1 ( )
x y x x
y
x
x x y
y
⇔ + + + − =
⇔ + = − +
Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được 
2
2
2 2 3
x x
x y y
y y
  
+ − + + =  
  
2
2 3x xy y
y y
   
⇔ + − + =   
   
1
3
x y
y
x y
y

+ = −
⇔

+ =

0,5 
0,5 
0,5 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
thay vào ( )3 giải ra ta có nghiệm (x, y) = (0, -1). 
2) Chứng minh được 1 2 3 11 2 3 ... .2n n
n n n n
C C C nC n −+ + + + = 
Từ đó suy ra 2n – 1 = 128 ⇔ n = 8. 
Vậy 
8 9
8 9 9 1
8 9
0 0
( ) 2(1 ) (2 ) 2 2k k i i i
k i
f x x x x C x C x− +
= =
= + + + = +∑ ∑ 
Từ đó tìm được hệ số cần tìm là 6 5 48 92 .2C C+ = 2072. 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
Câu 
III 
1) Dễ thấy xn > 0 với mọi n 
 Ta có 1
1 2013 1 2013
.2 . 2013
2 2n n nn n
x x x
x x
+
 
= + ≥ = 
 
Do đó xn ≥ 2013 với mọi n ≥ 1.nên (xn) là dãy bị chăn dưới 
Mặt khác 
2
1
20131 2013( ) 0
2 2
n
n n n
n n
x
x x x
x x
+
−
− = − = ≤ vì xn ≥ 2013 , 2n∀ ≥ 
Do đó dãy (xn) giảm kể từ số hạng thứ 3. 
Từ đó suy ra dãy (xn) có giới hạn hữu hạn. 
Đặt a = lim
n
n
x
→+∞
 suy ra 1 2013 2013 2013
2
a a a a
a a
 
= + ⇔ = ⇔ = ± 
 
Suy ra lim
n
n
x
→+∞
= 2013 vì xn > 0 với mọi n. 
2) Ta có 
3 3
0 0
4 . 1 2 2 4 .( 1 2 1) 4 2lim lim
x x
x x x x x
x x→ →
+ + − + + − + + −
= 
3
0
20 33
4 .( 1 2 1) 4 2lim
2 4 1lim
4 2(1 2 ) 1 2 1
4 1 19
.
3 4 12
x
x
x x x
x x
x
xx x
→
→
 + + − + −
= +  
 
 +
 = +
 + ++ + + + 
= + =
0,5 
1 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
Câu 
IV 
1) Gọi ( ; )n a b

 là vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB. 
Vì góc giữa AB và BD bằng 450 nên ta có 
2 2
2 2
2 | 2 | 3 8 3 0
2 5( )
a b
a ab b
a b
+
= ⇔ + − =
+
⇔ 
3
3
a b
b
a
= −

 =

TH1: a = - 3b, chọn b = -1, a = 3 
 Lập được phương trình (AB): 3x – y – 19 = 0 
 (AD): x + 3y – 5 = 0. 
 Từ đó tìm được 31 2 13 24 2 9( ; ), (4; 7), ( ; ), ( ; )
5 5 5 5 5 5
A B C D− − − − − 
TH2: 
3
b
a = , chọn b = 3, a = 1 
Lập được phương trình (AB): x + 3y – 3 = 0 
Tìm được B(0; 1) (loại) 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
2) Góc giữa SB và (ABCD) là  060SBA = 
Từ đó tính được SA = 3a 
Gọi K, L lần lượt là trung điểm của AD và SA ⇒ KL//SD và CK // AN 
Do đó góc α giữa SD và AN chính là góc giữa KL và CK 
Tính được 5 11, ,
2 2
a aCK KL a LC= = = 
Do đó 
2 2 2 5
cos
2 . 10
CK KL LCCKL
CK KL
+ −
= = − 
Suy ra 5cos
10
α = . 
2) Dễ chứng minh được DN // (SBK) 
Do đó d(SB; DN) = d(D; (SBK)) 
Mà AD cắt (SBK) tại K là trung điểm AD 
nên d(D; (SBK)) = d(A; (SBK)) := h. 
Tứ diện ABSK là tứ diện vuông nên 
2 2 2 2
1 1 1 1
h AS AB AK
= + + 
Từ đó tìm được d(SB; DN) = h = 3
4
a
. 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
Câu V 
Chứng minh được sin sin 2 os
2
CA B c+ ≤ 
Từ đó chứng minh được sin sin sin os os os
2 2 2
A B CA B C c c c+ + ≤ + + 
Suy ra điều phải chứng minh. 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều. 
1 
1 
Lưu ý khi chấm bài: 
Trên đây chỉ là sơ lược đáp án, bài làm của học sinh phải được trình bày tỉ mỉ. 
 Mọi cách giải khác, nếu đúng, vẫn cho điểm tương đương như trên.