Đề thi chọn học sinh giỏi văn hoá cấp tỉnh Bắc Giang năm học 2012-2013 môn thi: Toán - lớp 11 phổ thông

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
BẮC GIANG 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
Đề thi có 01 trang 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH 
NĂM HỌC 2012-2013 
MÔN THI: TOÁN - LỚP 11 PHỔ THÔNG 
Ngày thi:31 /03/2013 
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề 
Câu 1. (5 điểm) 
 Giải các phương trình sau: 
 1) 4 2os 2cos 2 2sin 3c x x x+ − = , (x ∈ℝ ). 
 2) 2sin 2 cos 2 4sin cos 3sin 2 os2 2cos 3 0,x x x x x c x x+ − − − + = (x ∈ℝ ). 
Câu 2. (4 điểm) 
 1) Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho trong mỗi số đó có một chữ số xuất 
hiện hai lần, các chữ số còn lại xuất hiện không quá một lần. 
 2) Cho n là số nguyên dương thoả mãn 1 2 31 2 3 ... 128 .n
n n n n
C C C nC n+ + + + = 
Tìm hệ số của x6 trong khai triển thành đa thức của 
1( ) 2(1 ) (2 )n nf x x x x += + + + . 
Câu 3. (3 điểm) 
 1) Cho dãy số (un) được xác định như sau 
1
1
1
1 2013
, 1.
2n n
n
x
x x n
x
+
=

 
= + ≥ 
 
Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn và tìm lim
n
n
x
→+∞
. 
 2) Tính giới hạn 
3
0
4 . 1 2 2lim
x
x x
x→
+ + −
. 
Câu 4. (6 điểm) 
 1) Trong mặt phẳng, cho ba điểm A, B, C di động sao cho chúng luôn tạo thành một 
tam giác có trọng tâm G cố định và trực tâm H luôn chạy trên đường thẳng ∆ cố định. Tìm 
tập hợp tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
 2) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông 
góc với mặt phẳng (ABCD). Góc giữa SB và (ABCD) bằng 600. Gọi N là trung điểm BC. 
Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC. 
 a. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SD và AN. 
 b. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) và hình chóp S.ABCD. 
Câu 5. (2 điểm) 
 Cho A, B, C là ba góc của một tam giác. Chứng minh rằng 
2
sin sin cos 2.
2
A B C+ − ≤ 
--------------------------------Hết------------------------------- 
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
Họ và tên thí sinh................................................ Số báo danh:........................................ 
Giám thị 1 (Họ tên và ký).................................................................................................. 
Giám thị 2 (Họ tên và ký).................................................................................................. 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
BẮC GIANG 
HƯỚNG DẪN CHẤM 
BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH 
NGÀY THI 31/3/2013 
MÔN THI: TOÁN LỚP 11 PHỔ THÔNG 
Bản hướng dẫn chấm có 03 trang 
Câu Phương pháp – Kết quả Điểm 
Câu I 1) Phương trình tương đương với 
2
2
(1 cos 2 ) 2cos 2 (1 cos 2 ) 3
4
os 2 14cos 2 15 0
os2 1
os2 1
os2 15
, .
x
x x
c x x
c x
c x
c x
x k kpi
+
+ − − =
⇔ + − =
=
⇔ ⇔ =
= −
⇔ = ∈ℤ
2) Phương trình đã cho tương đương với 
sin 2x(2cos2 x -1) + 4sin x cos2 x –3sin2x –(2cos2 x – 1 ) –2cos x + 3 = 0 
⇔ (2sin2xcos2x – 2cos2 x) + (4sinxcos2 x – 2cos x) – 4sin 2x + 4 = 0 
⇔ 2cos2x(sin2x – 1) + 2cos x(sin2x – 1) – 4(sin 2x - 1) = 0 
⇔ (sin 2x - 1)(cos2 x + cos x - 2) = 0 
⇔ 
sin 2 1
cos 1 4
2 ,cos 2
x
x k
x
x kx
pi
pi
pi
= 
= + 
= ⇔ 
= = − 
 .k ∈ℤ 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
1 
1 
Câu II 1) Trường hợp 1: Chữ số 0 xuất hiện 2 lần 
 Có 23C cách chọn 2 vị trí cho chữ số 0. 
 Có 29A cách xếp 2 chữ số trong 9 chữ số vào 2 vị trí còn lại 
Vậy có 23C 29A số có 4 chữ số thoả mãn trường hợp này. 
TH2: Chữ số a (khác 0) xuất hiện 2 lần và a ở vị trí đầu tiên (vị trí hàng 
nghìn). 
 Có 9 cách chọn a 
Có 3 cách chọn thêm một vị trí nữa cho a. 
Có 29A cách xếp 2 chữ số trong 9 chữ số vào 2 vị trí còn lại 
Vậy có 9.3 29A số có 4 chữ số thoả mãn trường hợp này. 
TH3: Chữ số a (khác 0) xuất hiện 2 lần và a không xuất hiện ở vị trí hàng 
nghìn 
Có 9 cách chọn a 
Có 23C cách chọn 2 vị trí cho chữ số a. 
Có 8 cách chọn một chữ số (khác 0 và khác a) vào vị trí hàng nghìn. 
Có 8 cách chọn một chữ số vào vị trí còn lại. 
Vậy có 9.8.8. 23C số có 4 chữ số thoả mãn trường hợp này 
Theo quy tắc cộng, có 23C 29A + 9.3 29A + 9.8.8. 23C = 3888 số thoả mãn đầu 
bài. 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
2) Chứng minh được 1 2 3 11 2 3 ... .2n n
n n n n
C C C nC n −+ + + + = 
Từ đó suy ra 2n – 1 = 128 ⇔ n = 8. 
Vậy 
8 9
8 9 9 1
8 9
0 0
( ) 2(1 ) (2 ) 2 2k k i i i
k i
f x x x x C x C x− +
= =
= + + + = +∑ ∑ 
Từ đó tìm được hệ số cần tìm là 6 5 48 92 .2C C+ = 2072 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
Câu 
III 
1) Dễ thấy xn > 0 với mọi n 
 Ta có 1
1 2013 1 2013
.2 . 2013
2 2n n nn n
x x x
x x
+
 
= + ≥ = 
 
Do đó xn ≥ 2013 với mọi n ≥ 1.nên (xn) là dãy bị chăn dưới 
Mặt khác 
2
1
20131 2013( ) 0
2 2
n
n n n
n n
x
x x x
x x
+
−
− = − = ≤ do xn ≥ 2013 với n ≥ 2. 
Do đó dãy (xn) giảm kể từ số hạng thứ 3. 
Từ đó suy ra dãy (xn) có giới hạn hữu hạn. 
Đặt a = lim
n
n
x
→+∞
 suy ra 1 2013 2013 2013
2
a a a a
a a
 
= + ⇔ = ⇔ = ± 
 
Suy ra lim
n
n
x
→+∞
= 2013 vì xn > 0 với mọi n. 
2) Ta có 
3 3
0 0
4 . 1 2 2 4 .( 1 2 1) 4 2lim lim
x x
x x x x x
x x→ →
+ + − + + − + + −
= 
3
0
20 33
4 .( 1 2 1) 4 2lim
2 4 1lim
4 2(1 2 ) 1 2 1
4 1 19
.
3 4 12
x
x
x x x
x x
x
xx x
→
→
 + + − + −
= +  
 
 +
 = +
 + ++ + + + 
= + =
0,5 
1 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
Câu 
IV 
1) Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. 
Khi đó O là trực tâm tam giác A’B’C’. 
Phép vị tự 
1
2
GV
−
 biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ 
Do đó 
1
2 :GV H O
−
→ 
Gọi ∆ ’ là ảnh của ∆ qua 
1
2
GV
−
Khi đó tập hợp O chính là đường thẳng ∆ ’. 
2) Góc giữa SB và (ABCD) là  060SBA = 
Từ đó tính được SA = 3a 
Gọi K, L lần lượt là trung điểm của AD và SA ⇒ KL//SD và CK // AN 
Do đó góc α giữa SD và AN chính là góc giữa KL và CK 
Tính được 5 11, ,
2 2
a aCK KL a LC= = = 
Do đó 
2 2 2 5
cos
2 . 10
CK KL LCCKL
CK KL
+ −
= = − 
1 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
Suy ra 5cos
10
α = . 
2) (P) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’C’D’ 
Dễ chứng minh được AC’ ⊥ B’D’ 
Từ đó suy ra 
'
' ' '
. ' '
2AB C D
AC B DS = 
∆ SAC vuông tại A, AC’ ⊥ SC nên tính được 
30
'
5
3 5
'
5
aAC
aSC

=



=
∆ SD’C’ đồng dạng với ∆ SCA nên ' ' 3 5 3'
10 2
SD SC aSD
SC SD
= = ⇒ = 
Ta có ' ' ' 3 3 2' '
4 4
B D SD aB D
BD SD
= = ⇒ = 
Vậy 
' 2
' ' '
. ' ' 3 15
2 20AB C D
AC B D aS = = 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
Câu V Ta có 
2
2 2
sin sin cos 2sin os cos
2 2 2 2
22cos . (2cos 1)
2 2 2
A B A BA B C c C
C C
+ −
+ − ≤ −
≤ − −
Đặt t = os
2
C
c 
Ta sẽ chứng minh 222 (2 1) 2
2
t t− − ≤ 
(*) 
Thật vậy 
2 2(*) 2 2 2 1 0 ( 2 1) 0t t t⇔ − + ≥ ⇔ − ≥ (luôn đúng) 
Từ đó suy ra (*) đúng 
Vậy có điều phải chứng minh. 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC vuông cân tại C. 
1 
1 
Lưu ý khi chấm bài: 
 Trên đây chỉ là sơ lược đáp án, bài làm của học sinh phải được trình bày tỉ mỉ. 
 Mọi cách giải khác, nếu đúng, vẫn cho điểm tương đương như trên.