Đề thi chọn học sinh giỏi văn hoá cấp tỉnh năm học 2012-2013 môn thi: toán - lớp 10 chuyên

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
BẮC GIANG 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
Đề thi có 01 trang 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH 
NĂM HỌC 2012-2013 
MÔN THI: TOÁN - LỚP 10 CHUYÊN 
Ngày thi:31 /03/2013 
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề 
Câu 1. (4 điểm) 
Cho hàm số ( ) 2 1f x x x m= − − + . 
1) Tìm m để phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt. 
2) Tìm m để bất phương trình f(x) > 0 nhận mọi x ≥ 1 là nghiệm. 
Câu 2. (4 điểm) 
1) Giải bất phương trình 
22 1 3 3 4 3 6x x x x− + − ≥ − + + , (x ∈ℝ ). 
2) Giải hệ phương trình 
3 2 2 22 2 2 2
2 1 2 1 2 1,
x x y y x y xy x
x y x y
 + − = + −

− + − = + −
 (x,y∈ℝ ). 
Câu 3. (4 điểm) 
Giải phương trình 
33 2 3 3 1x x x x− + + = + − , (x ∈ℝ ). 
Câu 4. (6 điểm) 
 1) Cho ABC∆ ( )BCBA ≠ . Giả sử đường tròn tâm O bán kính R đi qua hai điểm A, C 
cắt các cạnh BA và BC lần lượt tại K , N . Các đường tròn ngoại tiếp ABC∆ và BKN∆ cắt 
nhau tại hai điểm phân biệt B, M. Chứng minh rằng BMOM ⊥ . 
 2) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A(1; 2). Đường 
thẳng chứa cạnh BC có phương trình: x + y + 1 = 0. Tìm toạ độ B và C, biết AB = 2AC. 
 3) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường tròn (C1): (x - 1)2 + (y - 3)2 = 9 
và (C2): (x - 2)2 + (y + 2)2 = 5. Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua A(1; 0), cắt (C1) và 
(C2) lần lượt tại M, N sao cho AM = 2AN. 
Câu 5. (2 điểm) 
 Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng 
3 2 3 2 3 2 1.
a b c
a b c b c a c a b
+ + ≤
+ + + + + +
--------------------------------Hết------------------------------- 
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
Họ và tên thí sinh................................................ Số báo danh:.............................................. 
Giám thị 1 (Họ tên và ký).......................................................................................................... 
Giám thị 2 (Họ tên và ký)........................................................................................................... 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
BẮC GIANG 
HƯỚNG DẪN CHẤM 
BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH 
NGÀY THI /3/2013 
MÔN THI: TOÁN LỚP: 10 CHUYÊN 
Bản hướng dẫn chấm có 04 trang 
Câu Phương pháp – Kết quả Điểm 
Câu I 1) f(x) = 0 ⇔ 2 1x x m− − + =0 
(1) 
Đặt 1 , 0x t t− = ≥ 
Khi đó (1) thành t2 – 2t + m + 1 = 0 
(2) 
(1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ (2) có hai nghiệm không âm phân biệt 
 1 2
1 2
' 0
2 0 1 0.
1 0
m
t t m
t t m
∆ = − >

⇔ + = > ⇔ − ≤ <

= + ≥
2) f(x) > 0 ⇔ 2 1x x m− − + > 0 (3) 
Đặt 1 , 0x t t− = ≥ 
Khi đó (3) thành t2 – 2t + m + 1 > 0 ⇔ m > -t2 + 2t – 1= g(t) 
(4) 
Tìm được 
0
ax (g(t)) (1) 0
t
M g
≥
= = 
Suy ra m > 0 là giá trị cần tìm 
0,5 
0,5 
1 
1 
1 
1) Điều kiện x ≥ 3 
Bất phương trình đã cho tương đương với 
( 1 3)( 3 2) 0
1 3 0
3 2 0
1 3 0
3 2 0
x x
x
x
x
x
− − − − ≤

− − ≥

 − − ≤
⇔ 

− − ≤

− − ≥
Giải ra ta được 7 ≤ x ≤ 10. 
2) Điều kiện 1,
2
x y ≥ 
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với 
 (x - y)(x2 + 2xy + 2) = 0 (*) 
Do 1,
2
x y ≥ nên x2 + 2xy + 2 > 0. 
Vì vậy (*) ⇔ x – y = 0 ⇔ y = x, thay vào phương trình thứ hai của hệ ta 
được: 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
P
M
N
K
C
A
O'
O
B
2
1
2 2 1 3 1 2
4(2 1) (3 1)
x
x x
x x
 ≥
− = − ⇔ 

− = −
Giải ra ta được 51,
9
x x= = 
Từ đó suy ra được nghiệm của hệ. 
0,5 
Câu 
III 1) Điều kiện 
2
3
x ≥ 
Phương trình đã cho tương đương với 
3
2
2
( 3 2 1) ( 3 2) 3 4
3( 1) 1 ( 1)( 4)
3 2 1 3 2
3 1( 1) 4 0 (*)
3 2 1 3 2
x x x x
x x
x x x
x x
x x x
x x
− − + + − = + −
− −
⇔ + = − + +
− + + +
 
⇔ − + + − − = 
− + + + 
Ta có 
2 23 1 3 3 2 3 14 0
3 2 1 3 2 3 2 1 3 2
x x
x x x x
x x x x
− + +
+ + − − = + + + >
− + + + − + + +
Với mọi 2
3
x ≥ 
Do đó (*) ⇔ x – 1 = 0 ⇔ x = 1. 
Vậy x = 1. 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
Câu 
IV 
1) 
Gọi O1 và O2 lần lượt tâm đường tròn ngoại tiếp BKNABC ∆∆ ; 
Ta có AC không song song với KN vì nếu AC // KN thì tứ giác ACNK là 
hình thang cân. Suy ra BA = BC (vô lí) 
Gọi P là giao điểm của AC và KN . 
Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2/ / / / / /; , ,P O P O P O P O P O P OP P P P P P P B M= = ⇒ = ⇒ thẳng hàng. 
(vì BM là trục đẳng phương của (O1) và (O2)) 
Lại có   PNC BNK BAC= = mà    BAC PMC PMC PNC= ⇒ = . 
Vậy tứ giác PMNC nội tiếp. 
Lại có 22.. RPOPCPAPBPM −== và 22.. RBOBPBMBCBN −== . 
0,5 
0,5 
Suy ra ( ) 2222 BMPMBMPMPBBOPO −=−=− 
( ) 0.. 222222 =−−+−+=+= OPOMMPMBBOMOOPBOMOBPMO 
Suy ra BMOM ⊥ . 
2) Ta có d(A; BC) = 2 2 
Tam giác ABC vuông tai A nên 2 2 2
1 1 1 1
( ; ) 8AB AC d A BC+ = = 
Kết hợp với điều kiên AB = 2AC ta được AC2 = 10 
Mà C ∈BC nên C(a; -a - 1) ⇒ (a - 1)2 + (a + 3)2 = 10 
⇔ 2a2 + 4a +10 = 10 ⇔ a = 0 hoặc a = - 2. 
Với a = 0 suy ra C(0; -1) 
Phương trình AB đi qua A, vectơ pháp tuyến ( 1; 3)AC = − −

là 
x + 3y -7 = 0 
Từ đó tìm được toạ độ B(-5; 4). 
Với a = -2 suy ra C(-2; 1) 
Phương trình AB đi qua A, vectơ pháp tuyến ( 3; 1)AC = − −

là 
3x + y - 5 = 0 
Từ đó tìm được toạ độ B(3; -4). 
3) (C1) có tâm I1(1; 3) bán kính R1 = 3, (C2) có tâm I2(2; -2), R2 = 5 
Ta có A là một điểm chung của hai đường tròn. 
Gọi ( ; ) 0n a b= ≠
 
 là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ 
∆ : ax+ by – a = 0 
Ta có 
1 2 2
2 2 2
| 3 |( ; )
| 2 |( ; )
bd I
a b
a bd I
a b
 ∆ =
+

− ∆ =
 +
Từ đó suy ra 
2
2 2 2
1 1 2 2
2 2
2 2 2
2 2 2 2
364( ( ; ))
16 16 44( ( ; ))
aMA R d I
a b
a ab bMB R d I
a b

= − ∆ = +

+ +
= − ∆ =
 +
Do MA = 2MB nên MA2 = 4MB2 ⇔ 36a2 = 4(16a2 + 16ab + 4b2) 
⇔ a = -2b hoặc 7
2
ab = − . 
+) Với a = -2b, ta chọn b = -1, a = 2 
Phương trình ∆ : 2x – y - 2 = 0. 
+) Với 7
2
ab = − , ta chon a = 2, b = - 7. 
Phương trình ∆ : 2x – 7y – 2 = 0. 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
Câu 
V Ta có ( )3 2 21 1 ( )c a b c a b ca + + + + ≥ + +   = 9 
1 
⇔ 3 2
1( 1 ) 1
9 9
a c
a a aca
a b c
+ + + +≤ =
+ +
Do đó ta chứng minh được 
3 2 3 2 3 2
3 ( ) ( )
9
a b c a b c ab bc ca
a b c c a b a b c
+ + + + + +
+ + ≤
+ + + + + +
Mà 3(ab +bc + ca) ≤ (a + b + c)2 = 9 
Từ đó có điều phải chứng minh. 
0,5 
0,5 
Lưu ý khi chấm bài: 
 Trên đây chỉ là sơ lược đáp án, bài làm của học sinh phải được trình bày tỉ mỉ. 
 Mọi cách giải khác, nếu đúng, vẫn cho điểm tương đương như trên.