Đề thi chọn học sinh giỏi văn hoá cấp tỉnh năm học 2012-2013 môn thi: toán - lớp 10 phổ thông

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
BẮC GIANG 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
Đề thi có 01 trang 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH 
NĂM HỌC 2012-2013 
MÔN THI: TOÁN - LỚP 10 PHỔ THÔNG 
Ngày thi:31 /03/2013 
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề 
Câu 1. (4 điểm) 
 Cho hàm số y = f(x) = x2 - 2(m - 1)x + m . 
1) Tìm m để bất phương trình f(x) ≥ 0 nhận mọi x là nghiệm. 
2) Tìm m để phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm x1, x2 lớn hớn 1. 
Câu 2. (4 điểm) 
1) Giải phương trình 
22 1 3 3 4 3 6,x x x x− + − = − + + (x ∈ℝ ). 
2) Giải hệ phương trình 
3 2 2 22 2 2 2
2 1 2 1 2 1,
x x y y x y xy x
x y x y
 + − = + −

− + − = + −
 (x,y∈ℝ ). 
Câu 3. (4 điểm) 
1) Giải bất phương trình 
33 2 3 3 1,x x x x− + + ≥ + − (x ∈ℝ ). 
2) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x 
4 4 2 4 4 6 63os sin 2sin 3(sin os ) 2(sin os )A c x x x x c x x c x= − + + − + . 
Câu 4. (6 điểm) 
 1) Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng với G là trọng tâm tam giác ABC ta có 
2 2 21
. . . .( )
6
GA GB GB GC GC GA AB BC CA+ + = − + +
     
. 
 2) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A(1;2). Đường 
thẳng chứa cạnh BC có phương trình: x + y + 1 = 0. Tìm toạ độ B và C, biết AB = 2AC. 
 3) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường tròn 
(C1): (x - 1)2 + (y - 3)2 = 9 và (C2): (x - 2)2 + (y + 2)2 = 5. 
Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua A(1;0), đồng thời ∆ cắt các đường tròn (C1) 
và (C2) lần lượt tại M, N (M, N không trùng A) sao cho AM = 2AN. 
Câu 5. (2 điểm) 
 Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng 
3 2 3 2 3 2 1.
a b c
a b c b c a c a b
+ + ≤
+ + + + + +
--------------------------------Hết------------------------------- 
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
Họ và tên thí sinh................................................ Số báo danh:........................................ 
Giám thị 1 (Họ tên và ký).................................................................................................. 
Giám thị 2 (Họ tên và ký).................................................................................................. 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
BẮC GIANG 
HƯỚNG DẪN CHẤM 
BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH 
NGÀY THI 31/3/2013 
MÔN THI: TOÁN LỚP 10 PHỔ THÔNG 
Bản hướng dẫn chấm có 04 trang 
Câu Phương pháp – Kết quả Điểm 
Câu 
I 
1) Ta có ∆ ’ = m2 – 3m + 1 
 f(x) ≥ 0, x∀ ⇔ ∆ ’ ≤ 0 ⇔ m2 – 3m + 1 ≤ 0 
3 5
2
3 5
2
m
m
 +≥
⇔

−≤

KL 3 5 3 5; ;
2 2
m
   
− +
∈ −∞ ∪ +∞   
   
2) Yêu cầu bài toán tương đương với 
1 2
1 2
' 0
( 1)( 1) 0
( 1) ( 1) 0
x x
x x
∆ >

− − >

− + − >
⇔ 1 2 1 2
1 2
3 5 3 5( ; ) ( ; )
' 0 2 2
( ) 1 0 3 0
2 4 02 0
m
x x x x m
mx x

− +
∈ −∞ ∪ +∞∆ >
 
− + + > ⇔ − > 
 
− >+ − > 

Tìm được 3 5 3.
2
m
+
< < 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
1 
1 
1) Điều kiện x ≥ 3 
Phương trình đã cho tương đương với 
1 3 0( 1 3)( 3 2) 0
3 2 0
x
x x
x

− − =
− − − − = ⇔ 
− − =
Giải ra được x = 10 và x = 7. 
2) Điều kiện 1,
2
x y ≥ 
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với 
 (x - y)(x2 + 2xy + 2) = 0 (*) 
Do 1,
2
x y ≥ nên x2 + 2xy + 2 > 0 
Vì vậy, (*) ⇔ x – y = 0 ⇔ y = x, thay vào phương trình thứ hai của hệ: 
2
1
2 2 1 3 1 2
4(2 1) (3 1)
x
x x
x x
 ≥
− = − ⇔ 

− = −
0,5 
1 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
Giải ra ta được 51,
9
x x= = 
Từ đó suy ra được nghiệm của hệ. 
0,5 
Câu 
III 1) Điều kiện 
2
3
x ≥ 
Bất phương trình đã cho tương đương với 
3
2
2
( 3 2 1) ( 3 2) 3 4
3( 1) 1 ( 1)( 4)
3 2 1 3 2
3 1( 1) 4 0 (*)
3 2 1 3 2
x x x x
x x
x x x
x x
x x x
x x
− − + + − ≥ + −
− −
⇔ + ≥ − + +
− + + +
 
⇔ − + + − − ≤ 
− + + + 
Ta có 
2 23 1 3 3 2 3 14 0
3 2 1 3 2 3 2 1 3 2
x x
x x x x
x x x x
− + +
+ + − − = + + + >
− + + + − + + +
,∀ 2
3
x ≥ 
Do đó (*) ⇔ x – 1 ≤ 0 ⇔ x ≤ 1. 
Vậy 2 1.
3
x≤ ≤ 
2) Ta có 
2 2 2 2 2 2 23
32 2 2 2 2 2 2
2 2 2
cos sin 2sin 3(1 2sin cos ) 2(1 3sin cos )
cos sin 2sin 3 6sin cos 2 6sin cos
cos sin 2sin 1
A x x x x x x x
x x x x x x x
x x x
= − + − − −
= − + − − +
= − + =
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
1 
1 
Câu 
IV 
1) Ta có 
2 2
2
2 2 2
4 4
9 9
.
2 2
a bm m ABGA GB ABGA GB
+ −+ −
= =
 
Tương tự có 3 đẳng thức còn lại, sau đó cộng ba đẳng thức đó ta được 
2 2 2
2 2 28( ) ( )
9
. . .
2
a b cm m m AB BC CA
GA GB GB GC GC GA
+ +
− + +
+ + =
     
Sử dụng công thức trung tuyến suy ra điều phải chứng minh. 
2) Ta có d(A; BC) = 2 2 
Tam giác ABC vuông tai A nên 2 2 2
1 1 1 1
( ; ) 8AB AC d A BC+ = = 
Kết hợp với điều kiên AB = 2AC ta được AC2 = 10 
Mà C ∈BC nên C(a; -a - 1) ⇒ (a - 1)2 + (a + 3)2 = 10 
⇔ 2a2 + 4a +10 = 10 ⇔ a = 0 hoặc a = - 2. 
Với a = 0 suy ra C(0; -1) 
Phương trình AB đi qua A, vectơ pháp tuyến ( 1; 3)AC = − −

là 
x + 3y -7 = 0 
Từ đó tìm được toạ độ B(-5; 4). 
Với a = -2 suy ra C(-2; 1) 
1 
1 
0,5 
0,5 
0,5 
Phương trình AB đi qua A, vectơ pháp tuyến ( 3; 1)AC = − −

là 
3x + y - 5 = 0 
Từ đó tìm được toạ độ B(3; -4). 
Chú ý: Học sinh có thể lấy B(a; -1 - a), C(b; -1 - b). 
Nếu lập được hệ hai ẩn nhưng chưa giải được thì cho 1 điểm 
3) (C1) có tâm I1(1; 3) bán kính R1 = 3, (C2) có tâm I2(2; -2), R2 = 5 
Ta có A là một điểm chung của hai đường tròn. 
Gọi ( ; ) 0n a b= ≠
 
 là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ 
∆ : ax+ by – a = 0 
Ta có 
1 2 2
2 2 2
| 3 |( ; )
| 2 |( ; )
bd I
a b
a bd I
a b
 ∆ =
+

− ∆ =
 +
Từ đó suy ra 
2
2 2 2
1 1 2 2
2 2
2 2 2
2 2 2 2
364( ( ; ))
16 16 44( ( ; ))
aMA R d I
a b
a ab bMB R d I
a b

= − ∆ = +

+ +
= − ∆ =
 +
Do MA = 2MB nên MA2 = 4MB2 ⇔ 36a2 = 4(16a2 + 16ab + 4b2) 
⇔ a = -2b hoặc 7
2
ab = − . 
+) Với a = -2b, ta chọn b = -1, a = 2 
Phương trình ∆ : 2x – y - 2 = 0. 
+) Với 7
2
ab = − , ta chon a = 2, b = - 7. 
Phương trình ∆ : 2x – 7y – 2 = 0. 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
Câu 
V Ta có ( )3 2 21 1 ( )c a b c a b ca + + + + ≥ + +   = 9 
⇔ 3 2
1( 1 ) 1
9 9
a c
a a aca
a b c
+ + + +≤ =
+ +
Do đó ta chứng minh được 
3 2 3 2 3 2
3 ( ) ( )
9
a b c a b c ab bc ca
a b c c a b a b c
+ + + + + +
+ + ≤
+ + + + + +
Mà 3(ab +bc + ca) ≤ (a + b + c)2 = 9 
Từ đó có điều phải chứng minh. 
1 
0,5 
0,5 
Lưu ý khi chấm bài: 
 Trên đây chỉ là sơ lược đáp án, bài làm của học sinh phải được trình bày tỉ mỉ. 
 Mọi cách giải khác, nếu đúng, vẫn cho điểm tương đương như trên.