Đề thi chọn học sinh giỏi vòng 2 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Phòng GD&ĐT Chương Mỹ (Có đáp án)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN CHƯƠNG MỸ VÒNG 2 - NĂM 2020
(3,0 điểm)
1. Chứng minh rằng: .
2. Tìm các số tự nhiên để và là số chính phương.
(4,0 điểm) Cho .
Tìm nguyên để .
(3,0 điểm) 
1. Cho các số dương thỏa mãn: và .
Tính giá trị của biểu thức .
2. Giải phương trình: .
(4,0 điểm) 
1. Tìm để viết thành bình phương của một đa thức.
2. Cho là các số dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
3. Cho dương sao cho . Chứng minh: .
(7,0 điểm) 
1. Cho tam giác vuông tại , đường cao ( thuộc ). Kẻ lần lượt vuông góc với ( thuộc , thuộc ). Đường thẳng qua vuông góc với cắt tại .
a) Chứng minh: là trung điểm của .
b) Kẻ đường thẳng vuông góc với tại cắt đường thẳng tại . Chứng minh là tia phân giác của góc .
c) Chứng minh: .
2. Cho tam giác , kẻ các đường phân giác trong của tam giác .
a) Chứng minh .
b) Chứng minh: .
LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN CHƯƠNG MỸ VÒNG 2 
NĂM 2020
(3,0 điểm)
1. Chứng minh rằng: .
2. Tìm các số tự nhiên để và là số chính phương.
Lời giải
1. Ta có: 
Mà 	(1)
	 	(2)
Cộng vế (1) và (2) ta được:
.
2. Đặt 
.
Với ta có: 
+) TH1: 
Khi 
+) TH2: 
Vậy với thì và là số chính phương.
(4,0 điểm) Cho .
Tìm nguyên để .
Lời giải
ĐKXĐ: .
Ta có: 
Khi đó 
Ta có 
TH1: 
TH2: 
TH3: loại
TH4: loại
Vậy với hoặc thì .
(3,0 điểm) 
1. Cho các số dương thỏa mãn: và .
Tính giá trị của biểu thức .
2. Giải phương trình: .
Lời giải
1. Từ 
	(1)
Mà 
 	(2)
Từ (1) và (2) suy ra .
Do đó .
2. Đk: hoặc 
	(1)
Đặt 
(1) 
Ta thấy không thỏa mãn đk.
Với (tmđk)
Vậy tập nghiệm của phương trình là .
(4,0 điểm) 
1. Tìm để viết thành bình phương của một đa thức.
2. Cho là các số dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
3. Cho dương sao cho . Chứng minh: .
Lời giải
1. Biến đổi
Để trở thành bình phương của một đa thức thì 
Vậy với thì trở thành bình phương của một đa thức.
2. Ta có: .
Ta xét 4 số thực ta có bất đẳng thức sau:
Áp dụng vào bài toán ta có:
Mà 	(1)
	(2)
 	(3)
Cộng (1), (2) và (3) lại ta được:
Hay 
(Cách khác: 
Mặt khác: )
Do đó 
Dấu “=” xảy ra 
Vậy Min khi 
(7,0 điểm) 
1. Cho tam giác vuông tại , đường cao ( thuộc ). Kẻ lần lượt vuông góc với ( thuộc , thuộc ). Đường thẳng qua vuông góc với cắt tại .
a) Chứng minh: là trung điểm của .
b) Kẻ đường thẳng vuông góc với tại cắt đường thẳng tại . Chứng minh là tia phân giác của góc .
c) Chứng minh: .
2. Cho tam giác , kẻ các đường phân giác trong của tam giác .
a) Chứng minh .
b) Chứng minh: .
Lời giải
1.
a) Gọi giao điểm của với , lần lượt tại 
Tứ giác là hình chữ nhật ?
Mà (hai góc phụ nhau)
( vuông)
Do đó 
Vì (cùng phụ ) cân tại 
Tương tự: 
Vậy .
b) Ta có cân tại 
mà và (cùng phụ )
Do đó: 
 là phân giác của 
c) Ta có: 
Xét vuông tại , ta có 
Do đó .
2. 
a) Lấy thuộc tia đối của tia sao cho 
Vì (g.g) 	(1)
Vì (g.g) (2)
Trừ (1), (2) suy ra 
b) Kẻ , cắt đường thẳng tại 
 cân tại 
Theo BĐT tam giác: 
Do (do )
Tương tự: 
Cộng vế với vế, ta được: .