Đề thi Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT năm học 2002-2003 Thanh Hóa môn thi: Toán Bảng A

sở gd đt thanh hoá 
kỳ thi học sinh giỏi Lớp 12 thpt năm học 2002-2003
môn thi: toán
Thời gian làm bài :180 phút
đề cho bảng a
 Bài1(4 điểm):
 Cho hệ phương trình: Logx(3x + ay) = Logy(3y + ax) = 2
 1) Giải hệ phương trình khi a = 2.
 2)Tìm tất cả các giá trị của a để hệ đã cho có 3 nghiệm phân biệt.
 Bài2(4 điểm): 
 Cho hàm số: .
1)Với a =1 chứng minh rằng luôn tìm được 2 điểm và chỉ có hai điểm trên đường cong sao cho tiếp tuyến tại đó song song với đường thẳng : 2x – 2y + 1 = 0.
 2)Tìm giá trị lớn nhất của a để tập giá trị của hàm số đã cho chứa
 đoạn [0;1].
 Bài3(4 điểm): 1) Giải phương trình:
 2cos(x – 450) – cos(x – 450)sin2x – 3sin2x + 4 = 0.
 2) Cho tam giác ABC , O là một điểm trong tam giác sao cho:
 OCA = OAB = OBC = a . 
 Chứng minh rằng: cotga = cotgA + cotgB + cotgC.
 Bài4(2 điểm):
 Với x là góc cho trước ạ kP . Tìm giới hạn:
 Bài5(6 điểm):
 Cho hình tứ diện ABCD có CD vuông góc với mặt phẳng (ABC), CD = CB,tam giác ABC vuông tại A.Mặt phẳng qua C vuông góc với DB cắt DB,DA lần lượt tại M,I.Gọi T là giao điểm của hai tiếp tuyến tại A và C của đường tròn đường kính BC trong mặt phẳng (ABC).
 1)Chứng minh 4 điểm C ,T , M, I đồng phẳng.
 2)Chứng minh I T là tiếp tuyến của mặt cầu đường kính CD và mặt cầu đường kính CB.
 3)Gọi N là trung điểm của AB , K là điểm trên CD sao cho Chứng minh khoảng cách giữa hai đường thẳng BK và CN bằng khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và CN.
 .............................................................................................. 
 Số báo danh.........................
sở gd đt thanh hoá kỳ thi học sinh giỏi thpt năm học 2002-2003
 môn thi: toán
 Thời gian làm bài :180 phút
 đề cho bảng a và bảng b
Bài 1: Cho bất phương trình:
 (x2 + 4x + 10 )2 – 7m(x2 + 4x + 11) + m + 6 < 0.
Giải bất phương trình khi m = 1.
Tìm m để bất phương trình đã cho có nghiệm chứa đoạn [0;2].
 Bài 2: 
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
y = cosx(cos3x + 10) , với xẻ [0; P).
Cho tam giác ABC có các cạnh a,b,c. Gọi la, lb, lc là độ dài các
đường phân giác trong dựng từ các đỉnh A, B, C và p là nửa chu vi
của tam giác.Chứng minh rằng tam giác ABC đều nếu:
 Bài 3:
 1) Giải phương trình: 
Chứng minh với a > 0, ạ 1, x > 0 ta có:
 Bài 4:Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 độ dài cạnh bằng a. 
 Điểm I thay đổi trên đoạn C1D1, đường thẳng (d1) qua I cắt các 
 đường thẳng AA1 , BC lần lượt tại M và N.
Biết ID1 = 2IC1.Tính thể tích hình chóp AMDN theo a.
Điểm J thay đổi thuộc đoạn B1C1, đường thẳng (d2) qua J và
 cũng cắt đường thẳng DC tại P. Xác định vị trí của I để chu vi
tam giác MNP nhỏ nhất.
 Bài 5: Đoạn tiếp tuyến AM = R tiếp xúc với đường tròn (c) tâm O,
 bán kính R tại A. Đường thẳng (d) thay đổi qua M cắt (c) tại hai
 điểm phân biệt B và C. Tìm vị trí của (d) để diện tích tam giác 
 ABC lớn nhất.
 ( Học sinh thi bảng B không phải làm bài 5)
 ...........................................................................................................
 sở gd đt thanh hoá 
kỳ thi học sinh giỏi Lớp 12 thpt năm học 2002-2003
môn thi: toán
Thời gian làm bài :180 phút
đề cho bảng b
 Bài1(4,5 điểm):
 Cho hệ phương trình: Logx(3x + ay) = Logy(3y + ax) = 2
 1) Giải hệ phương trình khi a = 2.
 2)Tìm tất cả các giá trị của a để hệ đã cho có 3 nghiệm phân biệt.
 Bài2(4,5 điểm): 
 Cho hàm số: .
1)Với a =1 chứng minh rằng luôn tìm được 2 điểm và chỉ có hai điểm trên đường cong sao cho tiếp tuyến tại đó song song với đường thẳng : 2x – 2y + 1 = 0.
 2)Tìm giá trị lớn nhất của a để tập giá trị của hàm số đã cho chứa
 đoạn [0;1].
 Bài3(5 điểm):
 1) Giải phương trình:
 2cos(x – 450) – cos(x – 450)sin2x – 3sin2x + 4 = 0.
 2) Cho tam giác ABC , O là một điểm trong tam giác sao cho:
 OCA = OAB = OBC = a . 
 Chứng minh rằng: cotga = cotgA + cotgB + cotgC.
 Bài4(6 điểm):
 Cho hình tứ diện ABCD có CD vuông góc với mặt phẳng (ABC), CD = CB,tam giác ABC vuông tại A.Mặt phẳng qua C vuông góc với DB cắt DB,DA lần lượt tại M,I.Gọi T là giao điểm của hai tiếp tuyến tại A và C của đường tròn đường kính BC trong mặt phẳng (ABC).
 1)Chứng minh 4 điểm C ,T , M, I đồng phẳng.
 2)Chứng minh I T là tiếp tuyến của mặt cầu đường kính CD và mặt cầu đường kính CB.
 3)Gọi N là trung điểm của AB , K là điểm trên CD sao cho Chứng minh khoảng cách giữa hai đường thẳng BK và CN bằng khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và CN.
 .............................................................................................. 
 Số báo danh.........................