Đề thi đề thi tuyển vào lớp chất lượng cao năm 2011 môn Toán - Vòng 1 - Đại học sư phạm Hà Nội

Đại học Sư Phạm Hà Nội
ĐỀ THI TUYỂN VÀO LỚP CHẤT LƯỢNG CAO NĂM 2011
Mụn Toỏn - Vũng 1.Thời gian: 180 phỳt.
www.VNMATH.com
Cõu I. Cho hàm số y = x4 −mx2 −m+ 4. (1)
1. Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2.
2. Tỡm m để đồ thị hàm số (1) cú cỏc điểm cực trị A,B,C tạo thành một tam giỏc đều.
Cõu II.
1. Giải phương trỡnh
2− cos 2x+ sin 2x− 3 sinx− cosx
tanx+ 1
= 0.
2. Giải phương trỡnh
√
6
2− x +
√
10
3− x = 4.
Cõu III.
1. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :
x− 2
−2 =
y − 1
3
=
z + 4
4
và mặt
cầu (S) cú phương trỡnh (x−2)2 +(y+1)2 + z2 = 25. Viết phương trỡnh mặt phẳng (P ) chứa
đường thẳng d và cắt mặt cầu (S) theo một giao tuyến là đường trũn cú chu vi là 6pi.
2. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a. Cỏc tam giỏc SAB và SCD
nằm trờn hai mặt phẳng vuụng gúc với nhau và cú tổng diện tớch là
7a2
10
. Tớnh thể tớch khối
chúp S.ABCD.
3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường trũn (C) cú phương trỡnh (x+ 1)2 + (y − 1)2 = 25
4
và đường thẳng d : 3x − y − 11 = 0. Từ điểm M trờn đường thẳng d kẻ cỏc tiếp tuyến với
đường trũn (C) là MA và MB trong đú A,B là cỏc tiếp điểm. Xỏc định tọa độ điểm M biết
rằng tam giỏc MAB là tam giỏc đều.
Cõu IV.
1. Tớnh tớch phõn I =
∫ 1
0
ln(x2 + 1)dx.
2. Cho z là số phức cú phần ảo õm và thỏa món z3 = 1. Xỏc định phần thực và phần ảo của số
phức A = z + z3 + z5 + . . .+ z2011.
Cõu V. Giải phương trỡnh x2 + x− 1 = xex2−1 + (x2 − 1)ex.
Đại học Sư Phạm Hà Nội
ĐỀ THI TUYỂN VÀO LỚP CHẤT LƯỢNG CAO NĂM 2011
Mụn Toỏn - Vũng 2. Thời gian: 180 phỳt.
www.VNMATH.com
Cõu I.
1. Cho hàm số y = x3− 3x2 +4 cú đồ thị là (C). Viết phương trỡnh tiếp tuyến d của đồ thị (C)
sao cho số giao điểm của d với đồ thị (C) là ớt nhất.
2. Cho α, β là hai số thực lớn hơn 1. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất, giỏ trị lớn nhất của hàm số sau trờn
[0; 1]: y =
(
2x
1 + x2
)α
.
(
1− x2
1 + x2
)β
.
1
3. Cho hàm số f(x) = x3−2x2+4x+m, với m ∈ R. Chứng minh rằng với mọi m, phương trỡnh
f(f(f(x))) = x cú nghiệm duy nhất.
Cõu II.
1. Giải bất phương trỡnh
√
20x2 + 80x+ 125 ≤ 2x+ 1 + 4√3x+ 6.
2. Giải hệ phương trỡnh 
x ≥ y2 − 4y + 5
logx+1(4y2 − 12y + 9) = x
2 + 2x+ 10
6y − 9
y > 32
Cõu III. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thoi cạnh a, cỏc cạnh bờn cựng tạo với
mặt đỏy những gúc 60ứ. Tớnh thể tớch của khối chúp S.ABCD theo a.
Cõu IV.
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giỏc ABC cú phương trỡnh cỏc đường cao AH,
phõn giỏc trong BD, trung tuyến CM lần lượt là: 2x+ y− 12 = 0, y = x− 2, x− 5y− 3 = 0.
Tỡm tọa độ A,B,C.
2. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trỡnh mặt cầu (S) đi qua điểm A(0; 1; 2),
tiếp xỳc với mặt phẳng (P ) : x+ 2y + 2z − 15 = 0 và mặt cầu (S) cú diện tớch nhỏ nhất.
Cõu V. Trong một hộp cú 2011 viờn sỏi, cú hai người tham gia trũ chơi, mỗi người phải bốc ớt
nhất 11 viờn sỏi và nhiều nhất 20 viờn sỏi, người nào bốc viờn sỏi cuối cựng sẽ là người thua cuộc.
Hóy tỡm thuật chơi để đảm bảo người bốc đầu tiờn sẽ là người thắng cuộc.
Cõu VI. Cho ba số nguyờn dương a, b, c thỏa món điều kiện a+ b+ c = 2011. Tỡm giỏ trị lớn nhất
của biểu thức P = abc.
2