Đề thi giao lưu học sinh giỏi năm học 2007-2008 môn : toán 7

Phòng giáo dục đầm hà
Trường THCS Quảng Lợi
Đề thi giao lưu học sinh giỏi năm học 2007-2008
Môn : Toán 7
Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Người ra đề: Hoàng Văn Ngọc

 Câu 1(1,5 điểm ) 
 So sánh các số sau: 
 2300 và 3200 
 
Câu2 (3,5 điểm )
Tìm các số a1, a2, a3,….,a100 , biết: 
===….= 
Và a1+ a2 + a3+ …+ a100 = 10100

Câu 3(3,0 điểm )
Tính giá trị của đa thức sau, biết x + y – 2 = 0
M = x3 + x2y – 2x2 – xy - y2 + 3y + x + 2006
Câu 4 (2,0 điểm)
Cho hai hai đa thức P(x) = x2 + 2mx + m2 và Q(x) = x2 + (2m +1 )x + m2
Tìm m, biết P(1) = Q(- 1)

Câu5 (8 điểm )
Cho tam giác giác nhọn ABC ,AH là đường cao .Về phía ngoài của tam giác vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF, vuông ở B và C.Trên tia đối của tia AH lấy điểm I sao cho AI = BC. Chứng minh
a) ABI = BEC
b) BI = CE và BI vuông góc với CE

c) Ba đường thẳng AH, CE, BF cắt nhau tại một điểm.

Câu 6 (2 điểm )
Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là một số chính phương 

=====Hết====









đáp án – biểu điểm

Câu
đáp án
điểm 
1
2300 = (23)100 = 8100
3200 = (32)100 = 9100
Vì 8100 < 9100.Do đó 2300 <3200
0,5
0,5
0,5
2
===….= 
áp dụng dãy tỷ số bằng nhau ta có: = - 1
 = - 1 = 2 – 1 = 1 
 a1 = a2 =…= a100 = 101



1,5


1
1
3
Từ P(1) = Q(-1) ,suy ra 1+2m +m2 =1 – (2m +1) +m2 m =
2,0
4
Biến đổi mỗi đa thức theo hướng làm xuất hiện thừa số x + y – 2 
M = ( x3 + x2y – 2x) – (xy +y2 - 2y ) + (x+y -2 ) + 1 
 = x2(x + y – 2) – y(x + y – 2) + (x + y – 2) +2008
 =x2.0 – y.0 + 0 + 2008 = 2008
0,5
1,0
1,0
0,5
5

I

B

E

F

C

A

H

M


- Vẽ hình,ghi giả thiết kết luận đúng được 
a) Ta có IAB = 1800 - BAH =1800 – (900 - ABC) =900 + ABC =EBC
ABI =BEC (c – g – c)
b) ABI =BEC( câu a ) nên BI = EC (hai cạnh tương ứng ).
ECB =BIA hay ECB = BIH.
Gọi M là giao điểm của CE với AB ,ta có :
MCB + MBC =BIH + IBH = 900, do đó CEBI.
c) Trong tam giác BIC: AH, CF , BE là ba đường cao.Vậy AH, CF , BE đồng quy tại một điểm.



















1,0

2,5


3,5 

1 
6
Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là: n - 2, n- 1, n, n + 1,n +2, trong đó n N và N 2
Ta có A = (n – 2)2 + (n – 1)2 + n2 + (n +1)2 + (n+2)2 = 5(n2 + 2) 
Vì n2 không thể có chữ số tận cùng bởi 3 hoặc 8, do đó (n2 + 2) không chia hết cho 5, vì thế 5(n2 + 2) không là số chính phương, hay A không phải là số chính phương .
2
*) Ghi chú: Cách làm đúng khác vẫn cho điểm.