Đề thi giáo viên dạy giỏi THPT cấp tỉnh năm học 2004 – 2005 môn Toán

SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH KỲ THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI THPT CẤP TỈNH 
 ---------------- NĂM HỌC 2004 – 2005 
 ĐỀ THI KIẾN THỨC BỘ MÔN 
 Đề chính thức Môn : TOÁN 
 Thời gian làm bài: 120 phút ( Không kể thời gian phát đề) 
 Ngày thi: 06 – 11 – 2004 
 ---------------------------------------------------------- 
Bài 1 : (2,0 điểm). 
 Chứng minh rằng, với mọi số tự nhiên N  1 , ta có: 
 
 
N
n
nnn1 2).1(
1
 < 1 – ln2 
Bài 2 : (2,0 điểm). 
 Các hàm số tuần hoàn f(x): R  R và g(x): R  R thỏa mãn 
x
lim (f(x) – g(x) ) = 0 . 
Chứng minh rằng f(x) = g(x) với mọi số thực x. 
Bài 3: (3,0 điểm). 
Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao là AD, BE, CF . Gọi R là bán kính đường 
tròn ngoại tiếp tam giác ABC và r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác DEF . Chứng minh 
rằng: 
sin
2
A + sin
2
B + sin
2
C = 2 + 
R
r
Bài 4: ( 3,0 điểm). 
 Trong tiết luyện tập toán, giáo viên ra đề : 
 Gọi (x, y) là nghiệm của hệ phương trình: 
 x + y = 2a – 1 
 x + y
2
 = a
2
 + 2a - 3 
 Xác định a để tích xy nhỏ nhất? 
 - Một học sinh giải như sau: 
 Từ hệ phương trình đã cho ta có: 
 (x + y)
2
 – 2xy = a2 + 2a – 3 
 ( 2a – 1)2 – 2xy = a2 + 2a – 3 
  xy = 
2
3
(a – 1)2 + 
2
1
  
2
1
. 
 Do đó xy đạt giá trị nhỏ nhất khi a = 1. 
 - Anh (chị) hãy cho biết lời giải trên đúng hay sai? Vì sao? Nếu sai, anh (chị) hãy giải lại cho 
đúng. 
 ------------------------Hết--------------------------