Đề thi giáo viên giỏi cấp thị xã bậc THCS môn Toán

Phòng GD&ĐT Bỉm Sơn Kỳ thi giáo viên giỏi cấp thị xã Bậc THCS
 Năm học 2008 - 2009
Đề thi môn toán
(Thời gian làm bài 150’)
Đồng chí hãy giải và làm đáp án cho đề bài sau theo thang điểm 20/20
Câu 1: Cho biểu thức (Với x > 0; x1)
Rút gọn biểu thức A.
Chứng minh: 0 < A < 2 
Câu 2: Cho phương trình: x2 - mx + m - 1 = 0
Chứng minh phương trình luôn có nghiệm.
Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Câu 3: Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phương trình:
Có nghiệm nguyên.Tìm nghiệm nguyên đó .
Câu 4: 
Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
Cho hai số dương a và b thỏa mãn a + b = 1
 Chứng minh: 
Câu 5: Cho đường tròn (O; R) và dây cung MN cố định. Gọi P là điểm chính giữa của cung nhỏ MN. Lấy I trên cung nhỏ PN; Tia Mx vuông góc với IP tại K và cắt NI kéo dài tại E .
Chứng minh ; IP là tia phân giác của góc 
Chứng minh P là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNE và có độ lớn không đổi khi I di chuyển trên cung nhỏ PN.
Tia EP cắt MN tại F và cắt đường tròn (O; R) tại G. Chứng minh MP là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác MFG.
Chứng minh PF. PG không đổi khi I chạy trên cung nhỏ PN. Tính tích này theo R, biết góc PMN =