Đề thi giáo viên giỏi huyện năm học 2009 - 2010 môn: Toán

ĐỀ THI GVG HUYỆN NĂM HỌC 2009 - 2010
 MÔN: TOÁN
( Thời gian làm bài 120 phút )
---------------------------
Câu 1. a)Cho là phân số tối giản . Chứng minh rằng cũng là phân số tối giản. 
b) Cho a;b;c là các số nguyên thỏa mãn: a2(b-c) + b2 (c-a) + c2(a-b) = a+b+c. Chứng minh rằng a+b+c 27
Câu 2. a) Cho hệ phương trình ( với a,b nguyên dương và khác nhau)
Tìm a,b để hệ có nghiệm (x;y) với x;y là các số nguyên dương.
b) Giải phương trình: 2(x2 + 2) = 5 
 Câu 3.Cho các số dương a;b;c thỏa mãn a + b + c 3 . Chứng minh rằng: 
Câu 4. Cho hình thang vuông ABCD ( A = D = 900) và DC = 2 AB
Gọi H là hình chiếu của D trên đường chéo AC và M là trung điểm của đoạn HC 
Chứng minh rằng BM MD
Câu 5. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O;R). Điểm M thuộc cung nhỏ , gọi I;K;H theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên cạnh AB; AC; BC 
Chứng minh 
Giả sử ABC đều , xác định vị trí của M trên cung để MA + MB + MC = Max (đạt giá trị lớn nhất)
Câu 6.Tìm giá trị nguyên của x để giá trị tương ứng của phân thức sau cũng là số nguyên : 
-------------------------------
HƯỚNG DẪN CHẤM THI GVG HUYỆN NĂM HỌC 2009 - 2010
 MÔN: TOÁN
Câu 1. ( 4 điểm) 
( 2 đ) Vì là phân số tối giản nên (a;b) = 1
Giả sử a2 và a + b cùng chia hết cho số nguyên tố d
Khi đó vì a2 d và d là số nguyên tố nên ad
Từ ad và a+b d => bd như vậy a và b cùng chia hết cho số nguyên tố d, trái với giẻ thiết (a;b)=1 vậy (a2; a+b)=1 hay là phân số tối giản
b) (2đ) a2(b-c)+ b2(c-a) + c2(a-b) = a+b+c. (a-b)(b-c)(a-c)= a+b+c 	(1)
gọi r1, r2, r3 lần lượt là các số dư khi chia a; b; c cho 3
Trường hợp 1: Nếu các số dư khác nhau (0;1;2) thì r1+ r2+ r3 = 3 => a+b+c 3
Nhưng các hiệu a-b;b-c;a-c đều không chia hết cho 3 nên đẳng thức 1 không xẩy ra điều này trái với giả thiết.
Trường hợp 2: Nếu có 2 số dư bằng nhau thì a+b+c không chia hết cho 3 nhưng tích (a-b)(b-c)(c-a) 3 điều này vô lý.
Trường hợp 3: Cả 3 số dư bằng nhau
Khi đó (a-b); (b-c); (a-c) đều chia hết cho 3 => (a-b)(b-c)(a-c)3.3.3
Vậy từ (1) => a+b+c 27
Câu 2: (4điểm)
a)(2đ) => ax+by=bx+ay (a-b)(x-y) = 0
vì ab => x-y =0 => x=y
Từ x=y ta có ax+by=5 x(a+b)=5 vậy để phương trình có nghiệm nguyên dương thì a+b>0 và là ước của 5
Do a,b N * và ab nên ta có :
a=1 và b = 4 => x = y = 1 ; a= 2 và b = 3 => x = y = 1
a= 3 và b = 2 => x = y = 1 ; a = 4 và b = 1 => x = y = 1 
( 2 đ) Đặt a = ; b = đ/k x 1 ; a 0 ; b >0
a2 = x + 1 ; b2 = x2-x +1 => x2+2 = a2+b2 và x3+1 = a2b2 
Phương trình trở thành 2(a2+b2) = 5 ab (2a – b) (a – 2b) = 0 a = 2b hoặc b = 2a
Với a = 2b ta có = 2 4x2 -5x+3 = 0 ( vô nghiệm)
Vowia b = 2a ta có = 2 x2-5x – 3 = 0 
x1,2 = là nghiệm của phương trình
Câu 3. ( 3 điểm) Ta có 
(1)
Mặt khác từ ab+bc+ca a2+b2+c2 => ab + bc + ca (2) 
Từ (1) và (2) ta có dấu = xảy ra khi a = b = c = 1
 A B
 H
 N M
 D C
Câu 4 . ( 2,5 điểm) 
Gọi N là trung điểm của DH 
MN là đường trung bình của DHC =>
MN = DC và MN//CD
Mà AB = CD ; AB//CD
MN =AB và MN//AB => tứ giác ABMN là hình bình hành => AN//BM
Từ MN//AB mà AB AD => MN AD => N là trực tâm của AMD => AN MD vì AN//BM mà AN DM => BM DM
Câu 5.(4 điểm) 
(2đ) giả sử AC AB ta có 
 (1)
Do góc C1 = góc A1 nên cotgA1= cotgC1 => 
 (2) và góc A2 = góc B1 nên cotg A2 = cotgB1 => (3)
Từ (1), (2) ,(3) => = 
(2đ)gọi D là giao điểm của MA với BC => tam giác MBD đòng dạnh tam gics MAC (gg) => tương tự do đó 
MA+MB+MC = 2 MA 4R . vậy Max( MA+MB+MC)= 4 R khi AM là đường kính khi dó M là trung điểm của cung BC
2
 K
 D H 
 1 1
 A
	 B	 C C
	 I	
 M
Câu 6.( 2,5 điểm) biến đổi 
 ó 3 2x +1 ó 2x+1 -3 ; -1 ; 1 ; 3 Từ đó ta có 
2x - 1
-3
-1
1
3
x
-2
-1
0
1