Đề thi học giỏi môn Toán - Bảng A

Dưới đây là 6 bài toán của bảng A 
Bài 1 
Giải hệ phương trình ba biến sau: 
Bài 2 
Cho một điểm M nằm trên đường thẳng chứa cạnh AB của tứ giác lồi ABCD. Gọi N là giao điểm thứ 2 của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác MAC, MBD. Chứng minh rằng 
1/ N luôn nằm trên một đường tròn cố định
2/ MN luôn đi qua một điểm cố định
Bài 3
Cho m và n là các số nguyên lớn hơn 3. Cho bảng ô vuông kíck thước mxn (bảng gồm m hàng và n cột). Cho phép đặt bi vào các ô vuông con của bảng theo cách sau: mỗi lần đặt 4 viên bi vào 4 ô vuông con (mỗi ô đặt viên) mà 4 ô đó tạo thành một trong cách hình dưới đây
Hỏi bằng cách thực hiện một số hữu hạn lần phép đặt bi nói trên , ta có thể đặt bi vào tất cả các ô vuông con của bảng sao cho số bi trong mỗi ô vuông con đều bằng nhau hay không, nếu:
1/ m=2004, n=2006 
2/ m=2005, n=2006
Chú ý: trong mỗi lần đặt bi, ô vuông con được chọn để đặt bi không nhất thiết phải là ô chưa có bi
Bài 4
Cho hàm số trong đó là hai số thực dương khác nhau cho trước.
Chứng minh rằng với mỗi số thực thuộc khoảng đều tồn tại duy nhất số thực dương sao cho
Bài 5
Hãy xác định tất cả các đa thức với hệ số thực thỏa mãn hệ thức sau với mọi số thực : 
Bài 6
Xét tập hợp số có 2006 phần tử. Ta gọi một tập con của là tập con "bướng bỉnh" nếu với hai số tùy ý (có thể bằng nhau) thuộc luôn có không thuộc . Chứng minh rằng 
1/ Nếu là tập hợp gồm 2006 số nguyên dương đầu tiên thì mỗi tập con "bướng bỉnh" của đều không có quá 1003 phần tử
2/ Nếu là tập hợp gồm 2006 số nguyên dương tùy ý thì tồn tại một tập con "bướng bỉnh" của có 669 phần tử
Diễn đàn mong nhận được bản scan đề gốc của bảng B từ các thành viên. Cuối cùng chúc các thành viên diễn đàn vừa tham gia kì thi vui vẻ và sẽ đạt được kết quả xứng đáng
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BỔ SUNG VÀO ĐỘI TUYỂN DỰ THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ NĂM 2005
------------------------------------------------------
Thời gian làm bài :240 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: Cho tam giác có và các góc đều nhọn (*) .Kí hiệu là đường tròn ngoại tiếp tam giác .Gọi là chân đường cao ứng với đỉnh ; từ hạ vuông góc với đường thẳng .Kí hiệu là đường tròn đi qua điểm và tiếp xúc với đường tròn đường kính tại điểm .
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn đối với tất cả các tam giác thoả mãn điều kiện (*) , có và có bán kính các đường tròn và bằng nhau .
b) Gọi là trung điểm cạnh , là trọng tâm tam giác .Đường phân giác trong góc của tam giác cắt đường thẳng tại và đường tròn tại .Đường phân giác ngoài góc của tam giác cắt đường tròn tại .Chứng minh rằng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 
(Ở đây là kí hiệu của đường tròn có tâm X)
Bài 2: Xét số .Hãy chứng minh rằng A là một hợp số dương và tổng các ước số dương của A chia hết cho 24 
Bài 3: Cho bảng vuông kích thước .Hai ô vuông được gọi là kề nhau nếu chúng là hai ô liên tiếp trên cùng một hàng hoặc cùng một cột .
a)Tìm số nguyên dương p lớn nhất để tồn tại một cách đánh dấu p ô trên bảng thoả mãn điều kiện : Trong số các ô kề với mỗi ô được đánh dấu có không quá một ô được đánh dấu .
b)Hai cách đánh dấu được gọi là q kề nhau nếu chúng đều có q ô được đánh dấu , trong đó có (q-1) ô có vị trí trùng nhau trên bảng và hai ô còn lại của hai cách này là hai ô kề nhau .Tìm số nguyên dương q nhỏ nhất để tồn tại một cách đánh dấu q ô trên bảng thoả mãn các điều kiện :
i) Tất cả các ô kề với mỗi ô được đánh dấu đều không được đánh dấu .
ii) Mọi cách đánh dấu q kề nhau với nó đều không thoả mãn điều kiện i)
Đề thi Olympic Toán Nhật Bản năm 2006 
Bài 1: điểm phân biệt nằm trên đường tròn theo thứ tự đó sao cho ..Chứng minh rằng .
Bài 2:Tìm tất cả các số nguyên sao cho tồn tại vô hạn thỏa mãn .
Bài 3:Tìm tất cả thỏa mãn .
Bài 4:Cho là các số nguyên sao cho và là các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng ; là các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng sao cho .Một thị trấn có dạng một bảng ô vuông cỡ x.Tìm tất cả các bộ sao cho bằng cách qua mỗi giao lộ của thị trấn đúng một lần ta có thể đi đến ô từ ô .(Ở đây giao lộ là một ô vuông của bảng và hai ô nói trên là ô xuất phát và ô kết thúc của đường đi).
Bài 5:Tìm giá trị lớn nhất của số thực sao cho ,ở đây