Đề thi học kì II Môn: Toán 12 (120 phút)

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC KÌ II NĂM HỌC 2013-2014 
 TRƯỜNG THPT TRUNG GIÃ MÔN: TOÁN 12 
 ------------------------ Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề 
 --------------------------------------------------------
Câu 1. (2,5 điểm) Cho hàm số 1
12
+
+
=
x
xy 
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 
2) Tìm các giá trị của m để đường thẳng d: y = mx + 2m + 1 cắt đồ thị (C) tại hai 
điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau. 
Câu 2. (3,0 điểm) 
1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: xxxxf ln34
2
1)( 2 +−= 
trên đoạn [2; 4]. 
2) Giải phương trình: ( ) 13log25log
3
1
82 =−+− xx (x∈R) 
3) Cho số phức 
( ) ( )
1
121 22
+
−
+
+
=
i
i
i
iz . Tính môđun của số phức z . 
Câu 3. (1,5 điểm) Tính các tích phân sau: 
1) ( )∫ +=
2
0
2cos12
π
xdxxI 2) ∫ +
+
=
e
dx
xx
xxxI
1
22
ln1
lnln
Câu 4. (2,0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng 
1
3
2
3
1
1: −=+=
−
− zyxd và 
mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + 9 = 0. 
1) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm A(1; 2; -3) và vuông góc với 
đường thẳng d. 
2) Tìm toạ độ điểm I thuộc đường thẳng d sao cho khoảng cách từ điểm I đến 
mặt phẳng (P) bằng 2. Viết phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua điểm A. 
Câu 5. (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, cạnh bên 
SA vuông góc với đáy, góc BAD = 120 0, M là trung điểm của cạnh BC và góc SMA = 450. 
Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD. 
-------------------------------------- Hết ----------------------------------- 
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
Họ và tên thí sinh:.. Số báo danh:. 
Chữ kí của giám thị:.. 
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KÌ II - MÔN TOÁN 12 
Câu Nội dung Điểm 
Câu 1 Cho hàm số 
1
12
+
+
=
x
xy 2,5 
1 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho 2,0 
 TXĐ: D = R \ {-1} 
 Sự biến thiên: 
1;0
)1(
1' 2 −≠∀>+
= x
x
y 
Hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng (-∞; -1) và (-1; +∞) 
2limlim ==
−∞→+∞→
yy
xx
 ⇒ tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y = 2 
−∞=+∞=
−+ −→−→
yy
xx 11
lim;lim ⇒ tiệm cận đứng là x = -1 
Bảng biến thiên : 
 Đồ thị : 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,5 
0,5 
2 
Tìm các giá trị của m để đường thẳng d: y = mx + 2m + 1 cắt đồ thị (C) tại hai 
điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau. 
0,5 
Hoành độ giao điểm của (C) và d là nghiệm của phương trình: 
 12
1
12
++=
+
+ mmx
x
x
, ĐK: x ≠ -1 
 ⇔ mx2 + (3m – 1)x + 2m = 0 (1) 
d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B ⇔ PT (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ≠ -1 
( ) ( )

+∞+∪−∞−∈
≠
⇔





≠+−−
>∆
≠
⇔
;223223;
0
02)13(
0
0
m
m
mmm
m
 (2) 
Theo định lí Vi-ét, ta có: 2;
31
2121 =
−
=+ xx
m
mxx 
Giả sử A(x1; mx1+2m+1), B(x2; mx2+2m+1). 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ))2(302431.024
1212
1212;;
21
2121
21
tmmm
m
mmmxxm
xxVìmmxmmx
mmxmmxOxBdOxAd
−=⇔=++
−
⇔=+++⇔
≠++−=++⇔
++=++⇔=
Vậy m = -3 
0,25 
0,25 
Câu 2 3,0 
1 
(1điểm) 
TXĐ: D = (0; +∞) 
x
xx
x
xxf 3434)('
2 +−
=+−= ; 


=
=
⇔=+−⇔=
3
1
0340)(' 2
x
x
xxxf 
Hàm số f(x) liên tục trên [2; 4], và ta có: f(2) = 3ln2-6, 
2
153ln3)3( −=f ; f(4)=6ln2-8 
Vậy 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
2 
(1điểm) Giải phương trình: ( ) 13log25log3
1
82 =−+− xx (1) 
ĐK: x < 3 (A) 
( ) ( ) ( ) ( ) 33log5log13log
3
15log
3
1)1( 2222 =−+−⇔=−+−⇔ xxxx
( )( )[ ] ( )( ) 


=
=
⇔=+−⇔=−−⇔=−−⇔
)(7
)(1
0788358log35log 222 loaix
tmx
xxxxxx
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
3 
(1điểm) 
Ta có: ii
i
ii
i
i
i
iz
2
1
2
3
2
72
1
)1)(43(2
1
432
2 −−=
−−
+=
−
−−−
+=
+
−−
+= 
⇒
2
10
2
1
2
3
=⇒+−= ziz 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
Câu 3 Tính các tích phân sau: 1,5 
1 
(1điểm) 
( )∫ +=
2
0
2cos12
π
xdxxI . Đặt: 




=
=
⇒



=
+=
xv
dxdu
xdxdv
xu
2sin
2
1
2
2cos
12
0,25 
12cos
2
102sin|2sin
2
12 2
0
2
0
2
0
−=+=−
+
= ∫
πππ
xxdxxxI 
0,25 
0,25 
0,25 
2 
(0,5điểm) 
( )∫ ∫∫∫ −++
+
=
+
−++
=
+
+
=
e eee
dxxxdx
xx
xdx
xx
xxxdx
xx
xxxI
1 11
22
1
22
1ln
ln1
1ln
ln1
1ln1ln
ln1
lnln =A+B 
∫ +
+
=
e
dx
xx
xA
1 ln1
1ln
. Đặt: ( ) dtdxxtxx =+⇒=+ 1lnln1 . x = 1 ⇒ t = 1, x =e ⇒ t = 1+e 
( )et
t
dtA e
e
+===⇒
+
+
∫ 1ln||ln
1
1
1
1
0,25 
( ) eCxCdxxdxxdxxxB e
eee
−+=−=−=−= ∫∫∫ 1ln1ln 1
111
∫=
e
xdxxC
1
ln . 
4
1
422
1
2
ln
2
1
ln 2
1
22
11
2
2
+
=−=−=⇒






=
=
⇒



=
=
∫
exexdxxxC
xv
dx
x
du
xdxdv
xu eee
Vậy: ( ) eeeI −+++=
4
51ln
2
0,25 
Câu 4 Cho đường thẳng 1
3
2
3
1
1: −=+=
−
− zyxd và mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + 9 = 0. 2,0 
 1 
Viết phương trình mp(Q) đi qua A(1; 2; -3) và vuông góc với đường thẳng d. 1,0 
d có VTCP là ( )1;2;1−=u 
Theo bài cho ta có: mp(Q) đi qua A(1; 2; -3) và nhận ( )1;2;1−=u làm VTPT 
⇒ phương trình (Q): -x + 2y + z = 0 
0,25 
0,25 
0,5 
2 
Tìm toạ độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2. Viết 
phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua điểm A. 
1,0 
 I ∈ d ⇒ I(1–t; -3+2t; 3+t) ; ( ) 22
3
22
2)(; −=⇔=
−
⇔= t
t
PId hoặc t = 4 
 ⇒ I (3; -7; 1) hoặc I(-3; 5; 7) 
 Gọi (S) là mặt cầu có tâm I và đi qua A. 
+) (S) có tâm I(3; -7; 1), bán kính 101=IA ⇒ (S): (x-3)2 + (y+7)2 + (z – 1)2 = 101 
+) (S) có tâm I(-3; 5; 7), bán kính 125=IA ⇒ (S): (x+3)2 + (y-5)2 + (z – 7)2 = 125 
0,25 
0,25 
0,25 
0,5 
Câu 5 
(1điểm) 
Thể tích khối chóp S.ABCD là: SAABCDdtV ).(.
3
1
= 
2
360sin...
2
1.2)(.2)(
2
0 aBCABABCdtABCDdt === 
Tam giác SAM vuông cân tại A, tính được: 
2
3aAMSA == . Vậy 
4
3aV = 
0,25 
0,25 
0,5