Đề thi học kì II Năm học 2013-2014 Môn: Toán 8 Trường THCS An Thạnh

Phòng GD-ĐT Bến Lức ĐỀ THI HỌC KÌ II NĂM HỌC 2013-2014
Trường THCS An Thạnh Môn: Toán 8
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 90 phút
(Không kể thời gian phát đề)
I. Phần đại số (6 điểm)
Câu 1. (2 điểm) Giải các phương trình sau: (mỗi câu 0.5 điểm)
a. 2x + 1 = 3x− 4
b. x(x + 1) + 2(x + 1) = 0
c.
x2 + 3
x + 1
= 2
d. x2 − 3x + 2 = 0
Câu 2. (2 điểm) Tìm một số có hai chữa số, biết rằng chữ số hàng chục gấp hai lần
chữ số hàng đơn vị và tổng của chúng bằng 12.
Câu 3. (1 điểm) Giải hai phương trình sau:
a. |3x + 2| = 3 b. |2x + 1| = x− 1
Câu 4. (1 điểm) Giải hai bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số
a. (2x + 3) + 3x− 1 ≤ 5 b. 2x2 + 4x + 2 ≥ 0
II. Phần Hình Học (3 điểm)
Câu 5. (2 điểm) Cho 4ABC cân tại A, đường cao AH (H ∈ BC). N là hình chiếu của
H lên AB.
a. Chứng minh rằng 4NBH ∼ 4HBA
b. Biết S4ABC = 3a2 và NA = 2NB. Tính S4AHN
Câu 6. (1 điểm) Tính diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác
vuông cân, cạnh góc vuông là a, chiều cao 2a
III. Câu nâng cao (1 điểm)
Câu 7. Chứng minh bất đẳng thức sau:
(2a + 2b)(
1
4a
+
1
4b
) ≥ 2 ∀a, b > 0
HẾT
Học sinh không được sử dụng tài liệu. Giáo viên coi thi không giải thích
gì thêm
Họ tên học sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Phòng GD-ĐT Bến Lức ĐỀ THI HỌC KÌ II NĂM HỌC 2013-2014
Trường THCS An Thạnh Môn: Toán 8
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 90 phút
(Không kể thời gian phát đề)
I. Phần đại số (6 điểm)
Câu 1. (2 điểm) Giải các phương trình sau: (mỗi câu 0.5 điểm)
a. 2x + 3 = 8x− 15
b. (3x + 1)(2x− 8) = 2x− 8
c.
x
x− 1 +
2
x− 1 + 1 = 0
d. |2x + 4| = 3x− 1
Câu 2. (2 điểm) Một ca-nô đi từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 40 km/h và
trở về với vận tốc 30 km/h. Biết rằng vận tốc của dòng nước và vận tốc riêng
của ca-nô không đổi. Thời gian trở về lâu hơn thời gian đi là 30 phút. Tính vận
tốc riêng trung bình của ca-nô và độ dài quãng sông từ bến A đến bến B.
Câu 3. (2 điểm) Giải hai bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số
a. 2x + 3 ≥ 8x− 7 b. x2 + 1 ≥ 0
II. Phần Hình Học (3 điểm)
Câu 4. (2 điểm) Cho 4ABC có AB = 9 cm,AC = 12 cm. D,E lần lượt là hai điểm trên
AB, AC sao cho AD = 4 cm, AE = 3 cm.
a. Chứng minh rằng 4ADE ∼ 4ACB
b. Biết S4ABC = 54 cm2. Tính S4ADE
Câu 5. (1 điểm) Tính diện tích xung quanh hình chóp đều có đáy là tam giác đều cạnh
a = 10 cm, đường trung đoạn l = 20 cm.
III. Câu nâng cao (1 điểm)
Câu 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P (x) = 8x2 + 16x + 32
HẾT
Học sinh không được sử dụng tài liệu. Giáo viên coi thi không giải thích
gì thêm
Họ tên học sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Phòng GD-ĐT Bến Lức ĐỀ THI HỌC KÌ II NĂM HỌC 2013-2014
Trường THCS An Thạnh Môn: Toán 8
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 90 phút
(Không kể thời gian phát đề)
I. Phần đại số (6 điểm)
Câu 1. (2 điểm) Giải các phương trình sau: (mỗi câu 0.5 điểm)
a. 15x + 100 = 10 + 5x
b. x2 − 4 = (3x + 2)(x− 2)
c.
1− 6x
x− 2 +
9x + 4
x + 2
=
x(3x + 2) + 1
x2 − 4
d. |x− 3| = 3− x
Câu 2. (2 điểm) Một miếng hợp kim của đồng và thiết có khối lượng 20 kg, chứa 40%
đồng. Hỏi phải thêm vào miếng hợp kim này kim loại gì và bao nhiêu kg để
được một hợp kim mới chứa 30% đồng?
Câu 3. (2 điểm) Giải hai bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số
a. 2x + 3 ≥ x + 7 b. 10x + 1 < 11x− 20
II. Phần Hình Học (3 điểm)
Câu 4. (2 điểm) Cho 4ABC có 3 đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H.
a. Chứng minh rằng AH.DH = BH.EH = CH.FH
b. Biết HA = HD, S4ABC = 10 cm2. Tính S4BHC
Câu 5. (1 điểm) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C ′D′ có AB = 5cm, AC = 7cm và
A′C = 12cm. Tính thể tích và diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật đó.
III. Câu nâng cao (1 điểm)
Câu 6. Chứng minh rằng diện tích hình vuông cạnh 20 cm không nhỏ hơn diện tích
hình chữ nhật có cùng chu vi.
HẾT
Học sinh không được sử dụng tài liệu. Giáo viên coi thi không giải thích gì
thêm
Họ tên học sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Đáp Án và Biểu Điểm Đề 1
Câu Ý Nội dung Điểm
Câu 1 Giải các phương trình sau ... 2.00
a) Giải phương trình: 2x + 1 = 3x− 4 (1)
(1)⇔ 3x− 2x = 1 + 4⇔ x = 5 0.25
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {5} 0.25
b) Phương trình x(x + 1) + 2(x + 1) = 0 (1)
(1)⇔ (x + 1)(x + 2) = 0⇔
[
x + 1 = 0
x + 2 = 0
0.25
⇔
[
x = −1
x = −2
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {−1 ; −2} 0.25
c) Phương trình:
x2 + 3
x + 1
= 2 (1)
Điều kiện cho phương trình xác định: x 6= −1
Phương trình (1) ⇔ (x
2 + 3)− 2(x + 1)
x + 1
= 0 0.25
⇔ x2 − 2x + 1 = 0⇔ (x− 1)2 = 0⇔ x = 1 (nhận)
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1} 0.25
d) Phương trình x2 − 3x + 2 = 0 (*)
Phương trình (∗) ⇔ x2 − x− 2x + 2 = 0⇔ x(x− 1)− 2(x− 1) = 0 0.25
⇔ (x− 1)(x− 2) = 0⇔
[
x− 1 = 0
x− 2 = 0 ⇔
[
x = 1
x = 2
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {1; 2} 0.25
Câu 2 Tìm một số tự nhiên... 2.00
Gọi a là chữ số hàng chục. Vì số cần tìm là số tự nhiên nên a ∈ N. 0.5
Vì tổng của chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị là 12 nên chữ
số hàng đơn vị sẽ là 12− a.
0.5
Theo đề, chữ số hàng chục gấp hai lần chữ số hàng đơn vị nên ta
có phương trình
a = 2(12− a) (1) 0.5
Giải phương trình (1) ta được a = 8 (nhận). Khi đó, chữ số hàng
đơn vị là 12− 8 = 4
Vậy số có hai chữ số đó là 84 0.5
Câu 3 Giải hai phương trình... 1.00
4
a) Ta có: |3x + 2| = 3⇔
[
3x + 2 = 3
3x + 2 = −3 ⇔
 x = 13
x = −5
3
0.25
Vậy phương trình có hai nghiệm là S = {1
3
; −5
3
} 0.25
b) Ta có: |2x + 1| = x− 1 (1)
* Trường hợp 1. 2x + 1 ≥ 0⇔ x ≥ −1
2
Ta có: (1)⇔ 2x + 1 = x− 1⇔ x = −2 (loại) 0.25
*Trường hợp 2. 2x + 1 < 0⇔ x < −1
2
Ta có: (1)⇔ −(2x + 1) = x− 1⇔ x = 0 (loại)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm 0.25
Câu 4 Giải hai bất .... 1.00
Ta có: (2x + 3) + 3x− 1 ≤ 5⇔ 5x ≤ 3⇔ x ≤ 3
5
0.25
Học sinh tự biểu diễn 0.25
Ta có: 2x2 + 4x + 2 ≥ 0⇔ 2(x + 1)2 ≥ 0 (luôn đúng với mọi x) 0.25
Học sinh tự biểu diễn 0.25
Câu 5 Cho 4ABC cân tại A... 2.00
a. Chứng minh: 4NBH ∼ 4HBA
A
B
C
H
N
0.25
Ta có : N̂BH chung 0.25
và ĤNB = ÂHB = 900 (gt) 0.25
Vậy 4NBH ∼ 4HBA (g-g) 0.25
b) Vì 4ABC cân nên S4AHB = 1
2
4ABC = 3
2
a2 0.25
5
và NA = 2NB ⇒ NA = 2
3
AB 0.25
Ta có:
S4AHN
S4AHB
=
1
2
NH.NA
1
2
HN.AB
=
NA
AB
=
2
3
0.25
⇒ S4AHN = 2
3
S4AHB =
2
3
.
3
2
a2 = a2 0.25
Câu 6 Tính diện tích toàn phần của hình .... 1.00
vì ABC là tam giác cân cạnh a nên BC = a
√
2
Diện tích đáy: S =
1
2
AB.AC =
1
2
a2
Suy ra, diện tích 2 đáy là: S2đáy = a
2 0.25
Diện tích mặt bên ABA′B′ : SABB′A′ = AB.AA′ = a.2a = 2a2
Diện tích mặt bên ACC ′A′ : SACC′A′ = AC.AA′ = a.2a = 2a2
Diện tích mặt bên BCC ′B′ : SBCC′B′ = BC.AA′ = a
√
2.2a = 2a2
√
2 0.25
Diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng là:
SABC.A′B′C′ = S2đáy + SABB′A′ + SACC′A′ + SBCC′B′ 0.25
= a2 + 2a2 + 2a2 + 2a2
√
2
= (5 + 2
√
2)a2 (đơn vị diện tích) 0.25
2a
a
a
A
B
C
A′
C′
B′
Câu 7 Chứng minh bất đẳng thức sau: 1.00
(2a + 2b)(
1
4a
+
1
4b
) ≥ 2 ∀a, b > 0
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hay số dương: 2a và 2b ta được
2a + 2b ≥ 2√2a.2b = 4√ab (1) 0.25
Tương tự,Với 2 số dương:
1
4a
và
1
4b
ta được:
6
14a
+
1
4b
≥ 2
√
1
4a
.
1
4b
=
1
2
√
1
ab
(2) 0.25
Nhân (1) và (2) vế theo vế ta được:(2a + 2b)(
1
4a
+
1
4b
) ≥ 2 0.25
Đẳng thức xảy ra khi 2a = 2b và
1
4a
=
1
4b
hay a = b (đpcm) 0.25
Học sinh có thể giải theo cách khác, nếu đúng ở câu nào vẫn được trọn số
điểm của câu đó
7
Đáp Án và Biểu Điểm Đề 2
Câu Ý Nội dung Điểm
Câu 1 Giải các phương trình sau ... 2.00
a) Giải phương trình: 2x + 3 = 8x− 15 (1)
(1)⇔ 8x− 2x = 3 + 15⇔ x = 3 0.25
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {3} 0.25
b) Phương trình (3x + 1)(2x− 8) = 2x− 8 (1)
(1)⇔ 3x(2x− 8) = 0⇔
[
3x = 0
2x− 8 = 0 0.25
⇔
[
x = 0
x = 4
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {0 ; 4} 0.25
c) Phương trình:
x
x− 1 +
2
x− 1 + 1 = 0 (1)
Điều kiện cho phương trình xác định: x− 1 6= 0⇔ x 6= 1
Phương trình (1) ⇔ x(x− 1) + 2(x− 1) + 1.(x− 1)
x− 1 = 0 0.25
⇔ x2 + 2x − 3 = 0 ⇔ (x − 1)(x + 3) = 0 ⇔
[
x− 1 = 0
x + 3 = 0
⇔[
x = 1 loại
x = −3 nhận
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {−3} 0.25
d) Phương trình |2x + 4| = 3x− 1 (*)
* Trường hợp 1. 2x + 4 ≥ 0⇔ x ≥ −2
Ta có: (∗)⇔ 2x + 4 = 3x− 1⇔ x = −5 (loại) 0.25
*Trường hợp 2. 2x + 4 < 0⇔ x < −2
Ta có: (∗)⇔ −(2x + 4) = 3x− 1⇔ x = −3
5
(loại)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm 0.25
Câu 2 Một ca-nô đi từ bến A... 2.00
Ý 1 Tính vận tốc riêng trungg bình của ca-nô
Gọi x (x > 0) (km/h) là vận tốc riêng trung bình của ca-nô 0.25
Vận tốc dòng nước khi xuôi dòng là: 40−x (km/h) (điều kiện x < 40)
Vận tốc dòng nước khi ngược dòng là: x − 30 (km/h) (điều kiện
x > 30)
0.25
Vì vận tốc dòng nước không đổi nên ta có phương trình:
8
40− x = 30− x 0.25
Giải phương trình này ta được x = 35 0.25
Vậy vận tốc riêng trung bình của ca-nô là x = 35 (km/h)
Ý 2 Tính độ dài quãng sông từ bến A đến bếnB
Gọi x (x > 0) là độ dài quãng sông từ bến A đến bến B 0.25
Thời gian ca-nô đi từ bến A đến bến B là:
x
40
Thời gian ca-nô di từ bến B về bến A là:
x
30
0.25
Vì thời gian về chậm hơn thời gian đi 30 phút ( tức
1
2
gi) ta được
phương trình:
x
40
=
x
30
− 1
2
0.25
Giải phương trình này ta được: x = 60 (km)
Vậy quãng sông từ bến A đến bến B là 60 (km) 0.25
Câu 3 Giải hai bất .... 1.00
a) Ta có: (2x + 3) ≥ 8x− 7⇔ 6x ≤ 10⇔ x ≤ 5
3
0.25
Học sinh tự biểu diễn 0.25
b) Ta có: x2 + 1 ≥ 0 (luôn đúng với mọi x) 0.25
Học sinh tự biểu diễn 0.25
Câu 4 Cho 4ABC có AB = 9... 2.00
a. Chứng minh: 4ADE ∼ 4ACB
9
12
3
4
A
B C
D
E
H
K
0.25
Ta có : B̂AC chung 0.25
và
AD
AC
=
1
3
=
AE
AB
(gt) 0.25
Vậy 4ADE ∼ 4ACB (1 góc-2 tỉ lệ) 0.25
b) Ta kẻ AH,AK lần lượt là hai đường cao kẻ từ A đến DE và BC 0.25
9
Vì 4ACB ∼ 4ADE nên AH
AK
=
AD
AC
=
1
3
và
DE
BC
=
AD
AC
=
1
3
0.25
S4ADE
S4ACB
=
1
2
AH.DE
1
2
AK.BC
=
1
9
0.25
⇒ S4ADE =
S4ACB
9
= 6 (đvdt) 0.25
Câu 5 Tính diện tích xung quanh của hình chóp .... 1.00
Vì S.ABC là chóp đều nên S4SAB = S4SAC = S4SBC 0.25
Gọi D là trung điểm của BC suy ra SD là trung đoạn 0.25
Ta có: S4SBC =
1
2
SD.BC = 100 (cm2)
Vậy diện tích xung quanh của hình chóp là:
Sxung quanh = S4SAB + S4SAC + S4SBC = 3S4SBC = 300 (cm2) 0.25
a=10
a=10
a=10
l=20
A B
C
D
E
O
S
0.25
Câu 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1.00
P (x) = 8x2 + 16x + 32
= 8(x2 + 2x + 4) 0.25
= 8(x + 1)2 + 24 ≥ 24 0.25
P (x) đạt giá trị nhỏ nhất là 24, đạt tại (x + 1)2 = 0 hay x = −1 0.5
Học sinh có thể giải theo cách khác, nếu đúng ở câu nào vẫn được trọn số
điểm của câu đó
10
Đáp Án và Biểu Điểm Đề 3
Câu Ý Nội dung Điểm
Câu 1 Giải các phương trình sau ... 2.00
a) Giải phương trình: 15x + 100 = 10 + 5x (1)
(1)⇔ 15x− 5x = 10− 100⇔ x = −9 0.25
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {−9} 0.25
b) Phương trình x2 − 4 = (3x + 2)(x− 2) (1)
(1)⇔ (x− 2)(x + 2)− (3x + 2)(x− 2) = 0⇔ 2x(x− 2) = 0 0.25
⇔
[
2x = 0
x− 2 = 0 ⇔
[
x = 0
x = 2
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {0 ; 2} 0.25
c) Phương trình:
1− 6x
x− 2 +
9x + 4
x + 2
=
x(3x + 2) + 1
x2 − 4 (1)
Điều kiện cho phương trình xác định: x2 − 4 6= 0⇔ x 6= ±2
Phương trình (1) ⇔ (1− 6x)(x + 2) + (9x + 4)(x− 2) = x(3x + 2) + 1 0.25
⇔ x + 2− 6x2 − 12x + 9x2 − 18x + 4x− 8− 3x2 − 2x− 1 = 0
⇔ −25x = 7⇔ x = − 7
25
(nhận)
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {− 7
25
} 0.25
d) Phương trình |x− 3| = 3− x (*)
Ta có: (∗)⇔ x− 3 ≤ 0⇔ x ≤ 3 0.25
Tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {x ∈ R |x ≤ 3} 0.25
Câu 2 Một miếng hợp kim... 2.00
Ta nhận thấy tỉ lệ phần trăm về khối lượng của đồng giảm xuống,
trong khi đó khối lượng đồng không đổi. Như vậy kim loại thêm
vào phải là thiết.
0.25
Gọi x (x > 0) là khối lượng thiết thêm vào hợp kim ban đầu 0.25
Khối lượng của đồng trong hợp kim ban đầu là:
%đồng =
khối lượng đồng
khối lượng hợp chất
0.25
⇒ khối lượng đồng = %đồng ∗ khối lượng hợp chất
= 40% ∗ 20 = 8 (kg) 0.25
Khối lượng hợp chất sau khi thêm x (kg) thiết: 20 + x (kg) 0.25
Phần trăm về khối lượng của đồng trong hợp chất lúc sau:
11
30% =
khối lượng đồng
khối lượng hợp chất
30% =
8
20 + x
0.25
⇒ 30%.x + 20.20% = 8 0.25
Giải phương trình này ta được: x =
20
3
∼= 6, 6666 (kg) 0.25
Kết luận,ta phải thêm vào 6, 6666 kg thiết để được hợp kim mới
Câu 3 Giải hai bất .... 1.00
a) Ta có: 2x + 3 ≥ x + 7⇔ x ≥ 4 0.25
Học sinh tự biểu diễn 0.25
b) Ta có: 10x + 1 21 0.25
Học sinh tự biểu diễn 0.25
Câu 4 Cho 4ABC có 3 đường cao... 2.00
a) Chứng minh: AH.DH = BH.EH = CH.FH
A
B CD
E
F
H
0.25
Tam giác AFH và tam giác CDH là hai tam giác vuông và có
ÂHF = ĈHD vì là hai góc đối đỉnh.
Từ đó ta có: 4AFH ∼ 4CDH (g-g) 0.25
Suy ra:
AH
CH
=
FH
DH
⇒ AH.DH = CH.FH (1)
Tương tự, ta có: 4BFH ∼ 4CEH (g-g) 0.25
Suy ra:
BH
CH
=
FH
EH
⇒ BH.EH = CH.FH (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AH.DH = BH.EH = CH.FH (đpcm) 0.25
b) Dễ thấy rằng AD và HD lần lượt là hai đường cao cả hai tam giác
ABC và BHC. Vì AH = HD ⇒ AD = 2AH
0.25
12
Ta có:
S4BHC
S4ABC
=
1
2
HD.BC
1
2
AD.BC
=
1
2
0.25
⇒ S4BHC = 1
2
S4ABC =
10
2
= 5 (cm2) 0.5
Câu 5 Cho hình hộp chữ nhật .... 1.00
a) Tính thể tích của hình hộp chữ nhật
Áp dụng định lí pytago trong tam giác vuông ABC:
Ta có: BC2 = AC2 − AB2 = 72 − 52 = 24
⇒ BC = 2√6 0.25
Áp dụng định pytago trong tam giác vuông AA′C:
Ta có: AA′2 = A′C2 − AC2 = 122 − 72 = 95
⇒ AA′ = √95 0.25
Thể tích của hình hộp chữ nhật:
VABCD.A′B′C′D′ = AA
′.AB.AD = 5.2
√
6.
√
95
= 10
√
570 (đơn vị thể tích) 0.25
5 cm
7 cm
12 cm
A
B
D
C
A′
D′
C′
B′
0.25
b) Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật
Diện tích mặt ABB′A′
SABB′A′ = AA
′.AB = 5
√
95 (cm2) 0.25
Diện tích mặt BCC ′B′
SBCC′B′ = BB
′.BC =
√
570 (cm2) 0.25
Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhậtlà:
SABCD.A′B′C′D′ = SABB′A′ + SADD′A′ + SBCC′B′ + SCDD′C′ 0.25
= 2(SABB′A′ + SBCC′B′) = 2(5
√
95 +
√
570) (cm2) 0.25
13
Câu 6 Chứng minh rằng... 1.00
Chu vi của hình vuông cạnh 20 cm là 80 cm. Đây cũng là chu vi
các hình chữ nhật mà ta sẽ xét.
0.25
Với hình chữ nhật có chu vi 80 cm. Gọi x(x > 0) là chiều dài hình
chữ nhật, khi đó chiều rộng hình chữ nhật là 40− x (cm)
0.25
Diện tích của hình chữ nhật này là: S = x(40− x) (cm2)
Ta có: S = x(40− x) = 40x− x2 = −(x− 20)2 + 400 ≤ 400 0.25
Dấu bằng xảy ra khi x = 20 tức là khi đó hình chữ nhật của ta là
hình vuông
0.25
Như vậy, diện tích hình chữ nhật có cùng chu vi với hình vuông
không lớn hơn diện tích hình vuông
Học sinh có thể giải theo cách khác, nếu đúng ở câu nào vẫn được trọn số
điểm của câu đó
14