Đề thi học sinh giỏi 12 môn: toán thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 12 
MễN: TOÁN
THỜI GIAN: 180' (khụng kể thời gian giao đề)
ĐỀ BÀI:
Bài 1: (5 điểm) Cho hàm số: y = 
1) Khi m = 1: 	a) Khảo sỏt hàm số (C1)	2đ
	b) Tỡm trờn 2 nhỏnh của (C1) 2 diểm A và B sao cho AB bộ nhất	2đ
2) Xỏc định m để hàm số cú yCĐ, yCT và yCĐ.yCT > 0	1đ
Bài 2: (4 điểm)
a) Giải phương trỡnh: 2đ 
b) Tỡm " x, y ẻ Z thoả món 2đ 
Bài 3: (4 điểm) Cho dóy số 
	(n = 1, 2, ...)
a) CMR: 3đ 
b) Tớnh 1đ
Bài 4: (4 điểm) Cho Elớp cú a > b
Xột 	Mo(Xo, Yo) ẻ E ; O là gốc toạ độ
1) CMR: a ³ OM ³ b 2đ
2) CMR: tiếp tuyến với E tại MO (x0 > 0;y0 > 0)cắt chiều dương OX và OY ở A, B thỡ tồn tại vị trớ MO để độ dài AB min. 2đ 
Bài 5: (3 điểm) Cho hỡnh chúp DSABC cú gúc tam diện đỉnh S vuụng và SA = 1; SB = 2; SC = 3. M là 1 điểm thuộc DABC. Gọi P là tổng cỏc khoảng cỏch từ A, B, C lờn đường thẳng SM tỡm vị trớ M để Pmin.
Hướng dẫn đỏp ỏn:
Bài 1: 
1) m = 1: 
a) Khảo sỏt hàm số: cú dạng y = x + 
đ TXĐ: R - {-1) 	0,5đ
b) y' = 1 đ y' = 0
khi x = -2 hoặc x = 0 đ dấu y'
+
-
-
+
	 - 2 - 1	 0	x	0,25đ
Hàm số đồng biến trong (-Ơ, -2) ẩ (0 + Ơ) hàm số nghịch biến trờn (-2, -1) ẩ (-1, 0)
Cú xLĐ = -2, đ yCĐ = -3 và xCT = 0 đ yCT = 1	0,5đ
Tiệm cận: đứng x = -1 vỡ 
Tiệm cận xiờn y = x vỡ = 0
x
y'
y
-Ơ
-2
-1
0
+Ơ
+
0
-
0
+
-
-Ơ
-Ơ
+Ơ
+Ơ
-3
Bảng biến thiờn:
1
Vẽ đồ thị (0,5d)	y
y = x
1
-2
-1
0
	x
- 1
	- 3
b) Gọi A ẻ nhỏnh phải; B ẻ nhỏnh trỏi.	0,5đ
đ A (-1 +a, -1 + a + ) và b(-1 -b, -1 -b -) với a và b dương
đ BA2 = AB2 = (a + b)2 + (a + b)2
= (a + b)2
= 8ab + 8 
=> 	1điểm	
tại a = b = đ 
	0,5đ
Bài 2:
a) x = ± 1 khụng phải nghiệm phương trỡnh	0,5đ
chia 2 vế cho ta cú:
 đặt 
ta cú: đ t2 - t - 1 = 0
đ 	0,5đ
	1đ
b) Nhận xột rằng: x2 + 2x + 3 = (x + 1)2 + 2 ³ 2
đ log2(x2 + 2x + 3) ³ 1 " x ẻ R	0,75đ
đ điều kiện cần phải cú ³ 1	
đ Ê y Ê 1 y ẻ Z đ y = 1	0,5đ
đ x2 + 2x + 3 Ê 2 đ x = -1	0,5đ
đ BPT cú nghiệm (ẻ Z)	0,25
Bài 3: Đặt 
đ 	1,0đ
đ 	
=> 	 1,0đ
mặt khỏc cú: 
=	 	1,0đ
Do 
nờn In đ0 theo nguyờn lớ kẹp	(1đ)
Bài 4: 
1) 2 điểm: từ MO ẻ E đ 
và OM2 = và từ a > b ta cú: 	1,0đ
	1= Êị Ê 	(1)	
và 1= ³ ị ³ 	(2)
từ (1) và (2) đ a2 ³ OM2 ³ b2 đ a ³ OM ³ b	1,0đ
2) Đường thẳng AB cú dạng 
với A(m,o); B(n,o)	
theo t/c tiếp tuyến đ =>	0,5đ
vậy AB2 = m2 + n2 = (m2 + n2).1 = 
= 	0,5đ
³ a2 + b2 + 2ab = (a + b)2 dấu = cú khi 
S
M
g
a
b
	đ 
đ ABmin = a + b khi 	1đ
Bài 5: Đặt ASM = a, BSM = b, CSM = g
Ta cú: P = sina + 2sinb + 3sing
sẽ tớnh được sin2a + sin2b + sin2g = 2	0,5đ
C
 đ sina + sinb + sing ³ sin2a + sin2b + sin2g = 2
A
=> sinb + sing - 1 ³ 1 - sina
B
đ 2(sinb + sing) - 2 ³ 1 - sina	0,5đ
đ 2sinb + 3sing + sina ³ 2 + 1 = 3	1,0đ
Pmin = 3 khi sina = sin2a; sinb = sin2b; sing = sin2g 	0,5đ
=> sin g = 0, sina = sinb = 1 đ a = 900, b = 900, g = 00
Pmin = 3 khi M º C.