Đề thi học sinh giỏi 9 năm 2003 – 2004 tỉnh phú thọ môn toán

Ñeà thi HSG 9 naêm 2003 – 2004 tænh Phuù Thoï
Baøi 1 : ( 2ñ) a) CMR neáu p laø soá nguyeân toá lôùn hôn 3 thì ( p –1) ( p + 1) chia heát cho 24 .
 b) Tìm nghieäm nguyeân döông cuûa phöông trình xy – 2x – 3y + 1 = 0 .
Baøi 2 : ( 2ñ) Cho caùc soá a , b , c khaùc 0 vaø ñoâi moät khaùc nhau , thoaû maõn ñieàui kieän a3+ b3 + c3 = 3abc . Tính : .
Baøi 3: ( 2ñ ) a) Tìm a ñeå phöông trình 3 + 2ax = 3a – 1 coù nghieäm duy nhaát .
 b) Cho tam thöùc baäc hai f(x) = ax2 + bx + c thoaû maõn ñieàu kieän 1 vôùi moïi x . Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc .
Baøi 4 : ( 1,5 ñ) Cho xOy vaø hai ñieåm A , B laàn löôït naèm treân tia Ox ; Oy thoaû maõn OA – OB = m ( m laø ñoä daøi cho tröôùc ) CMR ñöôøng thaúng ñi qua troïng taâm G cuûa tam giaùc ABO vaø vuoâng goùc vôùi AB luoân ñi qua moät ñieåm coá ñònh 
Baøi 5 : (2,5 ñ) Cho tam giaùc nhoïn ABC goïi ha , hb , hc laàn löôït laø ñöôøng cao vaø ma , mb ,mc laàn löôït laø trung tuyeán cuûa caùc caïnh BC , CA , AB ; R vaø r laàn löôït laø baùn kính cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp vaø noäi tieáp cuûa tam giaùc ABC . CMR .
Ñeà thi HSG 9 naêm 2003 – 2004 tænh Phuù Thoï
Baøi 1 : ( 2ñ) a) CMR neáu p laø soá nguyeân toá lôùn hôn 3 thì ( p –1) ( p + 1) chia heát cho 24 .
 b) Tìm nghieäm nguyeân döông cuûa phöông trình xy – 2x – 3y + 1 = 0 .
Baøi 2 : ( 2ñ) Cho caùc soá a , b , c khaùc 0 vaø ñoâi moät khaùc nhau , thoaû maõn ñieàui kieän a3+ b3 + c3 = 3abc . Tính : .
Baøi 3: ( 2ñ ) a) Tìm a ñeå phöông trình 3 + 2ax = 3a – 1 coù nghieäm duy nhaát .
 b) Cho tam thöùc baäc hai f(x) = ax2 + bx + c thoaû maõn ñieàu kieän 1 vôùi moïi x . Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc .
Baøi 4 : ( 1,5 ñ) Cho xOy vaø hai ñieåm A , B laàn löôït naèm treân tia Ox ; Oy thoaû maõn OA – OB = m ( m laø ñoä daøi cho tröôùc ) CMR ñöôøng thaúng ñi qua troïng taâm G cuûa tam giaùc ABO vaø vuoâng goùc vôùi AB luoân ñi qua moät ñieåm coá ñònh 
Baøi 5 : (2,5 ñ) Cho tam giaùc nhoïn ABC goïi ha , hb , hc laàn löôït laø ñöôøng cao vaø ma , mb ,mc laàn löôït laø trung tuyeán cuûa caùc caïnh BC , CA , AB ; R vaø r laàn löôït laø baùn kính cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp vaø noäi tieáp cuûa tam giaùc ABC . CMR .
Gi¶i
Baøi 1 : a) vì p laø nguyeân toá lôùn hôn 3 neân p laø soá leû khoâng chia heát cho 3 . Do ñoù :
p = 2k + 1 ( k , k > 1 ) suy ra A = ( p – 1) ( p + 1 ) = 2k ( 2k + 2 ) = 4k ( k+ 1) A 8 
p = 3h 1 ( h , h > 1 ) suy ra A 3 vaäy A = ( p – 1) ( p + 1 ) 24 . 
b) Ta coù xy – 2x – 3y + 1 = 0 y ( x – 3 ) = 2x – 1 . ( *) 
Vì x = 3 khoâng laø nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho neân ( * ) 
Vì y laø nguyeân toá neân 5 ( x – 3 ) , suy ra x – 3 nhaän caùc giaù trò 1 ; 5 . Töø ñoù ta xaùc ñònh ñöôïc hai nghieäm nguyeân döông ( x ; y ) cuûa phöông trình ñaõ cho laø ( 4 ; 7 ) vaø ( 8 ; 3 ) .
Baøi 2 : Ta coù a3+ b3 + c3 = 3abc ( a + b + c ) ( ( a – b )2 + ( b – c ) 2 + ( c – a )2 ) = 0 
 a + b + c = 0 ( do a , b ,c ñoâi moät khaùc nhau ) 
Suy ra : 
 = 
 = 
Maët khaùc : 
 = 
 = 
Vaäy = 9 .
Baøi 3 : a) 3 + 2ax = 3a – 1 ( 1) 
Neáu x 0 thì (1) 3x + 2ax = 3a – 1 x (3 + 2a ) = 3a – 1 .(2) 
Vôùi a = ta coù phöông trình (2) voâ nghieäm 
Vôùi a nghieäm cuûa (2) laø x1 = vaø x1 seõ laø nghieäm cuûa (1) neáu 0 .
Neáu x 0 thì (1) -3x + 2ax = 3a – 1 x ( 2a – 3 ) = 3a – 1 ( 3 ) 
Vôùi ta coù ( 3 ) voâ nghieäm 
Vôùi a nghieäm cuûa (3) laø x2 = , x2 laø nghieäm cuûa phöông trình (1) neáu 0 
Vaäy : ( 1) coù nghieäm duy nhaát khi vaø chæ khi hoaëc 
 x1 x2 0 a = hoaëc a > hoaëc a < - . 
b) Töø ñieàu kieän 1 , vôùi moïi x ta coù : 
 . Maët khaùc 4a2 + 3b2 = 2(a+ b)2 +2(a-b)2 2(a+b)2 +2(a-b)2 16 .
Vaäy 4a2 + 3b2 ñaït giaù trò lôùn nhaát baèng 16 , khi vaø chæ khi ( a ; b ; c ) nhaän giaù trò laø ( 2 ; 0 ; -1 ) hoaëc ( -2 ; 0 ; 1 ) .
Baøi 4 : laáy ñieåm C thuoäc ñoaïn OA sao cho OC = m ( C coá ñònh ) 
Veõ ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ABO vaø trung tröïc cuûa AB , caét nhau taïi M . 
Ñöôøng thaúng qua troïng taâm G cuûa ABO vuoâng vôùi AB caét OM taïi N . 
Ta coù MAC = MBO ( c.g.c) suy ra MO = MC 
OMB = CMA OMC = BMA = AOB = khoâng ñoåi M coá ñònh ( laø giao ñieåm cuûa ñöôøng trung tröïc OC vaø cung OC chöùa goùc ) 
Goïi I laø trung ñieåm cuûa AB . Xeùt OMI , N thuoäc OM vaø G thuoäc OI . Vì G laø troïng taâm cuûa ABO neân . NG // MI ( vì cuøng vuoâng goùc vôùi AB ) suy ra N coá ñònh . Vaäy ñöôøng thaúng qua troïng taâm G cuûa ABO vuoâng goùc vôùi AB ñi qua ñieåm N coá ñònh ( ñpcm ) 
Baøi 5 : Goïi O laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ABC vaø A1 , B1 , C1 laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh BC , CA , AB . Ta coù AA1 = ma R + OA1 ( ñaúng thöùc saûy ra khi vaø chæ khi AB = AC ) 
 BB1 = mb R + OB1 ( ñaúng thöùc saûy ra khi vaø chæ khi AB = AC )
 CC1 = mc R + OC1 ( ñaúng thöùc saûy ra khi vaø chæ khi AB = AC )
Suy ra :