Đề thi học sinh giỏi cấp Huyện lớp 9 (năm học 2004 -2005) môn: Toán

đề thi học sinh giỏi cấp huyện 
Lớp: 9 (Năm học 2004 -2005)
Môn: Toán 
Thời gian: 150 phút ( không kể chép đề )
Câu 1:(2 điểm)
 cho biểu thức: A =
a) Rút gọn A.
b) Biết x = 8 - 4, Tính giá trị của A 
Câu2: ( 2 điểm)
a) Giải phương trình:
x2 ( x+ 2y) - y2( y+ 2x) = 1991Với x,y N 
Câu3: (2 điểm)
Cho ax3 = by3 = cz3 và 
Chứng minh: 
Câu 4: ( 3 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Các điểm C, D di chuyển trên nửa đường tròn sao cho góc COD = 900 ( cung AC < cung AD ). Gọi E là giao điểm của các đường thẳng AC, BD 
a) Tìm quỹ tích của điểm E. 
b) Gọi I, K là giao điểm thứ hai của đường tròn có đường kính CD với AE, BE. Chứng minh rằng IK // AB.
c) Gọi M là trung điểm của IK, CMR: M là trung điểm của OE 
Câu 5: ( 1 điểm ) 
Chứng minh rằng: 
đáp án
Câu 1: (2đ)
a) Rút gọn 
A= ĐK 	(0,5đ)
A= = )
= Vì 	(0,5đ)
b) x = 8 - 4 
có x - 1 = 8 - 4 - 1 = 7 - 4 = 3- 2.2 +22 	(0,5đ)
= ( -2)2 
 A = + =2 - + 	 (0,5đ)
Câu 2: giải phương trình
X2( x + 2y) - y2( y+ 2x) = 1991	(x,yN)	(1)
(1) ( x3 - y3) + ( 2x2y - 2y2x) = 1991 
( x-y) (x2 +3xy +y2) =1991	(2)	 (0,5đ)
Từ (2) x - y nguyên dương (do x,yN và x - y nguyên dương 
Nếu x2 +3xy +y2 = ( x - y)2 + 5xy ( x - y)2 x - y	 (0,5đ)
Ta có các ước nguyên dương của 1991 là 1,11,181, 1991 (2) 
(3) 
 Hoặc (4) 	 (0,5đ)
Hệ PT (3) Vô nghiệm
Hệ PT (4) có nghiệm x = 12, y = 1 (t.m)	 (0,5đ)
Vậy nghiệm của hệ PT là x = 12, y = 1
Câu3: 
Ta có	
= 
= 	(0,5đ)
Tương Tự:
	(0,5đ)
= 	(0,5đ)
 Vì ( 
( ĐPCM)	(0,5đ)
Câu 4:(3 điểm) 
tìm quỹ tích điểm E , BCE vuông tại C 
 góc CBE = góc COD = 450 
 góc CEB = 450 E thuộc cung chứa góc 450 
giới hạn cung PQ từ P và Q (AP AB ; BQ AB)
b) góc OKD = góc OCD = 450 = góc AED ( cùng chắn cung OD)
OK // AE góc K1 = I1 	(1)
lại có: góc K1 = góc C1 ( tg OKIC nội tiếp ) 	(2)
góc c1 = góc A ( COA cân )	(3)
Từ : (1),(2),(3) IK//AB 
c) Theo chứng minh trên : OK // AE 
chứng minh tương tự OI // BE OIEK là hình bình hành 
 trung điểm của IK cũng là trung điểm của OE ( ĐPCM)
Câu 5: Ta có 
	(0,5đ)
 (ĐPCM)	(0,5đ)
đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh
Môn : Toán 8 
Thời gian: 150 phút
Câu 1: (2điểm)
 phân tích phân thức thành nhân tử 
a) x3 - x2 - 4 
b) Tính A = x14 - 10 x13 + 10x12 - 10x11 +.....+ 10x2 - 10x + 10 ( với x = 9)
Câu 2: ( 2điểm)
Cho biểu thức: P = ( ).
a) Rút gọn P
b) Tìm a để P nguyên 
Câu 3: (2 điểm) 
 a) Cho đa thức : A(x) = a2x3 3ax2 - 6x -2a ( aQ)
 Xác định a sao cho A(x) (x+1)
 b) tìm x,y sao cho 
 2x2 + y2 + 2xy - 6x - 2y + 5 = 0
Câu 4: ( 3điểm)
Cho hình bình hành ABCD , một đường thằng đi qua đỉnh A của hình bình hành cắt BD, BC, DC theo thứ tự ở E,K,G. Chứng minh rằng
 a) AE2 = EK . EG 
 b) 
 c) Khi đường thẳng thay đổi vị trí nhưng vẫn đi qua A thì tích BK . DG có 
 giá trị không đổi 
Câu 5: Rút gọn biểu thức 
 A = 
đáp án + thang điểm
Câu 1: (2đ)
a) x3 - x2 - 4 = x3- 8 + 4 - x2 = ( x3 - 23) - (x2 - 22)
= ( x - 2) ( x2 +2x + 22) - ( x - 2) ( x + 2)
= ( x - 2) ( x2 +x + 2)
b) A = x14 - ( x+1)x13 +( x+1)x12 - ( x+1)x11 +.....+( x+1)x2 - ( x+1)x +( x+1)x
= x14 - x14 - x13 + x13 + x12 - x12 - x11 +...... - x2 - x + x + 1 = 1
Câu 2: (2đ)
Làm đúng mỗi phần cho một điểm
a) Rút gọn : P = ( ).	ĐK: a 1; a0
P = 
= 
b) P Nguyên nguyên a - 1 Ư(2)
a-1 ) 
+ Nếu a - 1= -1 a = 0 ( loại) 
+ Nếu a - 1= 1 a = 2 (t/m) 
+ Nếu a - 1= -2 a = -1 ( loại)
+ Nếu a - 1= 2 a = 3 ( t/m) 
Câu 3: (2đ)
a) Chia đa thức A(x) cho (x+1) được:
A (x) = (x+1) [ a2x2 + (3a - a2)x -( 6 + 3a - a2)] + (- a2 + a + 6)
Để A (x) (x-1) số dư - a2 + a + 6 = 0 a =-2 ; a = 3
b) x2 + 2xy + y2 - 2( x+ y) +1 + x2 - 4x + 4 = 0
[( x+ y)2 - 2( x+ y) +1] + (x - 2)2 
( x + y- 1)2 + ( x - 2)2 = 0
	 Vì 
B
A
Câu 4: (3 điểm)
D
G
C
K
a) Chứng minh: AE2 = EK . EG
Ta có CD // AB (gt ABCD là hình bình hành)
AEB đồng dạng với GED 	(0.5đ)
Tương tự từ AD // BC DAE đồng dạng với BEK ( do BK //AD)
Từ (1) và (2) AE2 = EK . EG (ĐPCM)	(0.5đ)
b) Ta có AED đồng dạng với KEB 
hay 	hay 	(2)
Tương tự : AEB đồng dạng với GED hay 
 Hay 	(3)	(0.5đ)
	Từ (2),(3) = = 	
Hay AE(+) = 1+ = 	(ĐPCM)	(0.5đ)
c) Ta có và 	 (0.5đ)
DG. BK = AB . AD = const ( do AB,AD Không đổi)	(ĐPCM) (0.5đ)
Câu5: (1điểm)
Ta có A = 	(0.5đ)
= 	
= 	(0.5đ)
đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh
Lớp: 9 (Năm học 2004 -2005)
Môn: Toán 
Thời gian: 150 phút ( không kể chép đề )
Câu 1: (2 điểm)
 cho biểu thức 
B = y - 5x + 6x2 
a) Rút gọn rồi tính giá trị của B cho x = - ; y = 
b) Tìm các cặp số (x,y) thoả mãn đồng thời 2 điều kiện sau:
x - +1 = 0 và B = 0
Câu 2:(2 điểm)
 Giải phương trình
(6x + 5y)2(3x + 2) (x + 1) = 35
Câu3:(2điểm)
 Chứng minh rằng
 + + > 2 ( Với a,b,c > 0)
Câu 4: Trên đường kính AB của đường tròn tâm 0, lấy hai điểm T và S đối sứng nhau qua 0, lấy điểm M trên đường tròn sao cho MA < MB , các đường thẳng MT,MO,MS cắt đường tròn lần lượt tại C,E,D. đường thẳng CD cắt đường thẳng AB tại F. Qua D kẻ đường thẳng // với AB nó cắt ME và MC tại L,N 
a) Chứng minh LN = LD 
b) Hạ OH CD chứng minh HNDE là tứ giác nội tiếp 
c) Chứng minh EF là tiếp tuyến của đường tròn tâm O 
Câu 5: (1đ) Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức 
 P = 2x2 - 6xy + 9y2 - 6x - 12y + 2033
đáp án
Câu 1: (2đ)	(ĐK: y 0)
a) B = y - 5x + 6x2 = ( - 2x) - 3x
= ( - 2x) ( - 3x )	(0.5)
Ta có : y == =
= 8 - 2 = ( -1)2
 = - 1
Vậy B = [(- 1) + ] [ -1 + 3] = 	(0.5)
b) Theo bài ra ta có (1) Hoặc (2) (0.5)
Giải hệ (1) có (t/m)
Giải hệ (1) có (t/m)
Vậy 2 cặp số thoả mãn đề bài ra là: x =1; y = 4 và x =; y = 	(0.5)
Câu 2: (2đ) 	Giải PT
(6x + 5)2 (3x + 2y) (x + 1) = 35	(1)
(36x2 + 60x + 25) (3x + 2) (x + 1) = 35
[12(3x2 + 5x + 2) + 1] (3x2 + 5x + 2) = 35 (2)	(0.5)
Đặt: 3x2 + 5x + 2 = t 	(3)
(2)với (12t + 1) t = 35
12t2 + t - 35 = 0 
PT này có t1 = ; t2 = - 	(0.5)	
Thế t = 35 vào (3) ta được: 9x2 + 15x + 1 = 0 
PT này có 2 nghiệm: x1 = ; 
 x2 = 	(0.5)
Thế t = -vào PT (3) có 12x2 + 20x +15 = 0 
( PT này vô nghịêm vì = 102 - 12 .15 = - 80 <0)
Vậy PT đã cho có 2 nghiệm là x = ; x = 	(0.5)
Câu3:(2đ)	 do a,b,c > 0 nên theo bất đẳng thức côsi ta có 
2 
 	(1)	(0.25đ)
Dấu "=" xẩy ra hay a = b+ c
Tương tự có: 	(2)
	(3)	 (0.25đ)
Cộng từng vế của (1), (2),(3) ta được
++ 2 ( do a + b + c>0 )	(0.25đ)
dấu "=" xẩy ra a + b + c = 0 ( vô lý, vì a + b + c > 0)
do đó không xẩy ra dấu"="
Vậy ++> 2 ( ĐPCM)	(0.25đ)
Câu4: (3điểm)
Chứng minh LN = LD
Ta có: ND // TS 
 NL // TO và LD//OS
theo định lý talét ta có ( vì cùng = )	(0.5)
mà TO = OS NL = LD	(ĐPCM)	(0.5)
b) ta có OH CD (gt)
 HC = HD (1)
 LN = LD (2)
Từ (1) và (2) LH là đường trung bình của CDN LH // CN 
 hay LH // MC	(0.5)
 CME = HLE (đồngvị)
 Mà CME = CDE ( Cùng chắn cung CD)
 HLE = HDE tứ giác HLDE nôi tiếp.	(0.5)
c) do HLDE nôi tiếp HEL = HDL (cùng chắn cung LH )	(0.5)
 mà HDL = HFT ( đồng vị) ,dođó OEF = OHF = 900	
 EF là tiếp tuyến của đường tròn (O)	(0.5)
Câu5: (1đ)
P = 2x2 - 6xy + 9y2 - 6x - 12y +2033
= x2 - 6xy + 9y2 -12y + 4x +4 + x2 - 10x +25 +2004
= ( x -3y + 2)2 + ( x -5)2 + 2004 2004	 (0.5đ)
( vì ( x -3y + 2)2 0 x,y ; và ( x -5)2 0 x
dấu "=" xẩy ra 
Vậy P min = 2004 tại
đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh
Môn : Toán 6
Thời gian: 150 phút
Câu1: (2điểm) 
Tính bằng cách hợp lý nhất
a) p =+ +++++++
b) Q = 
Câu2: (2 điểm)
a) cho phân số hãy tìm một số tự nhiên sao cho khi lấy tử số trừ đi số đó và lấy mẫu số cộng với số đó thì được một phân số bằng 
b) tìm x biết : 
360 : [41 - (2x-5)] =22 .5 
Câu 3: (2đ)
a) cho biết (3a + 2b) 17 (a,b)
Chứng minh (10 a + b) 17 
b) chứng minh 88 +220 17
Câu4: Trên đường thẳng xy ta lấy một điểm O. Trên nửa mặt phẳng bờ x,y ta vẽ tia Om và On 
a) kể tên các góc trong hình 
b) giả sử góc xOm = 500 , yOn = 700 hãy chứng tỏ rằng tia Om nằm giữa hai tia Ox và On. Tia On nằm giữa hai tia Oy và Om.
c) Tính số đo góc mOn.
Câu 5: 
Cho M = 	( Với n > 3)
Chứng tỏ rằng M < 1
đáp án
Câu1: (2 điểm)
P = 
= 
b) Tử số của Q = 18.123 + 18.4657 +18.5310
= 18(123 + 4657 + 5310) = 18.10 000 = 180 000
Mẫu số Q = 1 + 4 + 7 + 10....+ 52 + 55 + 58- 49.10
= = 590 - 490 = 100 (vì từ dẫy 1,4,7.....,58 có 20 số )
Vậy Q = 
Câu 2: (2 điểm) 
a) gọi số tự nhiên phải tìm là a theo bài ra 
 ta có 
 9( 537 - a ) = (463 + a)
 10a = 4370 
 a = 437
b) tìm x 
360 : [41 - ( 2x -5)] = 22.5
41 - (2x -5) = 360 : 20
41 - (2x -5) = 18
2x -5 	= 41 - 18
2x -5	= 23
2x	= 28
x 	= 14
Câu 3: (2 điểm)
 a) Ta có: 3a + 3b17
 10(3a + 2b) 17
 10a + 20b 17 (1)
 mà 17b 17 	 (2)
 (30a + 20b) -17b17
 hay (30a + 20b) 17
 ( ĐPCM)
b) chứng minh: 88 + 220 17
ta có 88 + 220 = + 220 = 224 + 220
= 220 (24 + 1)
= 220 .17 17
câu 4: ( 3 điểm)
a) có 6 góc trong hình vẽ là 
góc xOm, góc xOn, góc xOy, góc mOn, góc mOy, góc nOy
b) ta có xOn + nOy = 1800 mà nOy =700 
nên xOn = 1100 
Trên nửa mặt phẳng bờ chưa tia Ox có hai tia Om và On 
Mà xOm < xOn (500 < 1100 ) nên tia Om nằm giữa hai tia Ox và On 
Ta có yOm + mox =1800 mà mOx =500
Nên yOm = 1300
Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Oy có hai tia On, Om. 
Mà yOn < yOn (700<1300) nên tia On nằm giữa hai tia Oy, Om 
c) tia On nằm giữa hai tia Oy, Om.Nên ta có yOn + nOm = yOm 
hay 700 + nOm = 1300
 nOm = 600 
Câu 5:(1đ)
Ta có M = 2!	(n>3)
M < 2 
M < 2 
M < 2 
M 3)	
Họ và tên : Lê xuân hiền 
đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh
Đơn vị : Trường THCS 
Nghĩa Trung - Việt yên
Lớp: 7 (Năm học 2004 -2005)
Môn: Toán 
Thời gian: 150 phút ( không kể chép đề )
Câu 1: (2 điểm )
Tính giá trị của biểu thức
a) (2 
b) 
Câu 2: (2điểm) 
a) Cho x,y . Chứng minh rằng (6x + 11y) 
Khi và chỉ khi (x + 7y) 
b) Chứng minh rằng ( 89 - 224) 7
Câu 3: (2đ)
 tìm x,y,z biết 
Câu 4: (3điểm)
ChoABC có 3 góc nhọn, kẻ đường cao AH ở miền ngoài của ABC, ta vẽ vuông cân ABE và ACF đề nhận A làm đỉnh góc vuông. Kẻ EM và FN cùng vuông góc với đường thẳng AH ( M,N thuộc AH) 
a) chứng minh EM + HC = NH 
b) chứng minh rằng EN // FM 
Câu5: (1đ) 
 cho P =
Chứng minh rằng P < 
Đáp án
Câu 1(2đ).
a) Ta có 
=
b) 	(0.5)
= 	(0.5)
Câu 2: (2đ)
a) ta có: (6x + 42y) 
	(0.5)
có 
(6x + 11y) +31y 31	
(6x + 11y) 31 (do 31y31)
Vậy (6x + 11y) 31	(0.5)
b) ) ta có 89 - 224 =(23)9 - 224 = 227 - 224 	(0.5)
= 224(23 -1) = 224 .77 	(ĐPCM)	(0.5)
Câu3: ( 2điểm)
Từ đầu bài ta có 
 (1)
+) Nếu (x + + y + z) = 0 x = y = z = 0 [do(1)]	 (0.5)
+) Nếu (x + + y + z) 0 Từ(1) 
	 3x = 	x=	(0.5)
	y=	
 z = -	
Vậy 	+) Nếu (x + y + z) = 0 x = y = z = 0 
 +) Nếu (x + y + z) 0 x = ,y = , z = -	(0.5)
Câu4: (3điểm)
a) ta có F1 = A1 ( góc có cạnh tương ứng vuông góc)	(0.25)
	AFN = CAH ( do F1 = A1 ; AF = AC (gt) và N = H = 900 )
AN = HC (1)
Tương tự: BAH = EAM AH = EM (2)	(0.5)
Từ (1),(2) AN + AH = HC + EM
Hay NH = HC + EM	(ĐPCM)	(0.5)
b) Ta có EM = AH , AH = NF ( do ANC = ANF)
EM = NF EMN = FMN (c.g.c)	(0.5)
M1 = N1 mà M1 , N1 ở vị trí so le trong EN // FM	(ĐPCM)	(0.5)
Câu5: (1điểm)
Ta có: P = 
= 	(0.5)
P = 
Vậy P < 	(ĐPCM)	(0.5)