Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2021-2022 - Trường THCS Phú An (Có đáp án)

PHÒNG GD&ĐT PHÚ VANG
TRƯỜNG THCS PHÚ AN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN 
NĂM HỌC 2021 - 2022 
Môn: Toán 7
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (5 điểm) Tính giá trị của các biểu thức
a) A = 
b) B = 
c) C = . Biết và 2a + b – c = - 5
Câu 2: (4 điểm)
a) Tìm x, biết: 
b) Tìm x, biết: 
c) Tìm x, y, z, biết: (2x – 3)2 + (4 – 3y)2 + (x – 2y + z)2 = 0
Câu 3: (5 điểm)
a) Chứng minh: D = 3x+1 + 3x+2 +  + 3x+8 chia hết cho 120 với mọi số tự nhiên x
b) Cho a, b, c, x, y, z khác 0 thỏa mãn: . 
Chứng minh rằng: 
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = 
Câu 4: (6 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D, sao cho CD = AC. Đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt AB tại I.
a) Chứng minh: DI = AI
b) Chứng minh: 
c) Tia phân giác ngoài tại đỉnh B cắt đường thẳng CI tại H. Tính .
--------- HẾT ---------
PHÒNG GD&ĐT PHÚ VANG
TRƯỜNG THCS PHÚ AN
ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2021 - 2022
Môn: Toán 7
Câu
Nội dung
Điểm
1
(5đ)
a
(1đ)
A = 
= 
= = 9 – 12 – 3 = -6

0,5
0,5
b
(2đ)
B = 
= 
= 
= = 2.2022 + 1 = 4045

0,5
0,5
1
c
(2đ)
Ta có: 
Suy ra: 
a + 6 = 5 a = -1
b + 5 = 3 b = -2
c + 8 = 9 c = 1
Thay vào biểu thức C = , ta được: 
C = 

0,5
0,5
0,5
0,5
2
(4đ)
a
(2đ)
 
0,5
1,5
b
(1đ)
 (x + 2)2 = 4.9 = 36 
1
c
(1đ)
Vì (2x – 3)2 0; (4 – 3y)2 0; (x – 2y + z)2 0 nên: 
(2x – 3)2 + (4 – 3y)2 + (x – 2y + z)2 = 0 khi
(2x – 3)2 = 0; (4 – 3y)2 = 0; (x – 2y + z)2 = 0
 2x – 3 = 0; 4 – 3y = 0; x – 2y + z = 0
 x = , y = , z = 

0,5
0,5
3
(5đ)
a
(2đ)
Ta có: D = 3x+1 + 3x+2 +  + 3x+8 
= (3x+1 + 3x+2 + 3x+3 + 3x+4) + (3x+5 + 3x+6 + 3x+7 + 3x+8)
= 3x(3 + 32 + 33 + 34) + 3x+4(3 + 32 + 33 + 34)
= 120.3x + 120.3x+4 = 120.(3x + 3x+4)120.

0,5
0,5
1
b
(1,5đ)
Đặt = k, ta có: x = ak, y = bk, z = ck
, , 
 ; 
Vậy 

0,5
0,5
0,5
c
(1,5đ)
Ta có: 
M = 
= 
Vậy Mmin = 2023, đạt được khi (x – 2020)(2021 – x) 0 
hay 2020 x 2021.

1
0,5
4
(6đ)
a
(2đ)

- Vẽ hình 
- Chứng minh được 
AIC = DIC 
(cạnh huyền – cạnh góc vuông)
 DI = AI
0,5
1,5
b
(2đ)
Ta có: 
AI2 = DI2 = IC2 – CD2 (1)
AI2 = DI2 = IB2 – BD2 (2)
Cộng theo vế (1) và (2) ta được: 
2AI2 = IC2 + IB2 – (BD2 + CD2) 

0,5
0,5
1
c
(2đ)
Gọi M, N, P lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến CB, CA, AB
Vì AIC = DIC nên CI là tia phân giác của 
H CI HM = HN (*)
Mặt khác H thuộc tia phân giác của góc ngoài của ABC tại đỉnh B nên HM = HP (**)
Từ (*) và (**) suy ra HM = HP 
 NHA = PHA (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
 = 450 = 1350

0,5
0,5
0,5
0,5
* Lưu ý: HS làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa
GV ra đề
Lại Đăng Thịnh
HIỆU TRƯỞNG DUYỆT