Đề thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2012 - 2013 môn Toán lớp 6

PHÒNG GD- ĐT ĐỨC PHỔ	ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
ĐỀ CHÍNH THỨC	NĂM HỌC 2012-2013
MÔN TOÁN – LỚP 6
	Thời gian 120 phút ( không kể thời gian giao đề)
	Ngày thi : 07/4/2013
Câu 1: ( 4 điểm) 
	a) 
	b) Tìm các số nguyên x và y biết rằng 
Câu 2: ( 5 điểm)
Tìm các số nguyên n để giá trị của biểu thức là số nguyên
Tìm số tự nhiên x biết rằng 
Câu 3: ( 5 điểm) 
Cho hai phân số có tổng bằng 2013 lần tích của hai phân số đó. Tính tổng số các nghịch đảo của hai phân số đó.
Tìm số tự nhiên a biết rằng khi chia 355 cho a ta được số dư là 13 và khi chia 836 cho a có số dư là 8
Câu 4: ( 2 điểm) 
Chứng tỏ rằng nếu a là một số lẻ không chia hết cho 3 thì chia hết cho 6
Câu 5: ( 4 điểm)
a)Trên đường thẳng xy lấy các điểm M, N, P sao cho độ dài MN = a và NP = 2a ( với a > 0) . Tính độ dài đoạn thẳng MP theo a
b) Cho tia Ox là phân giác của trong nửa mặt phẳng có chứa tia ON với bờ là đường thẳng chứa tia OM, vẽ tia Oy sao cho . Chứng tỏ rằng: 	
	Giải:
Câu 1: a)
b) Ta có 
-1
-5
1
5
-5
-1
5
1
1
-3
3
7
-4
0
2
( loại)
Vậy 
Câu 2: Để biểu thức là số nguyên thì . Ta có Ư(17) nên 
-17
-1
1
17
n
-9
-1
0
8
Vậy 
b) ( 1)
Từ 0 đến 100 có 101 số hạng của x nên ta có và từ 1đến 100 có tổng nên vế trái của (1) là ta có . Vậy là số tự nhiên cần tìm
Câu 3:
Gọi hai phân số cần tìm là và y với . Theo đề ta có
(1) Do nên chia hai vế của (1) cho xy ta được. Nên tổng các nghịch đảo của hai phân số đó là 2013
Theo đề khi chia 355 cho a ta được số dư là 13 nên ta có với 
 và hay (2) và khi chia 836 cho a ta được số dư là 8 nên ta có với (3). Từ (2) và (3) suy ra là số tự nhiên cần tìm.
Câu 4: Khi a là một số lẻ không chia hết cho 3 nên a có dạng: và với . Khi 
 = với mọi k. Vậy .
Khi = với mọi k. Vậy .
Câu 5:a) 
Trường hợp N và P nằm khác phía với M ta có M nằm giữa N và P nên ta có 
Trường hợp N; P nằm cùng phía với M ta có N nằm giữa M và P nên 
 b) Do Ox là tia phân giác của nên . Do (gt) nên tia ON nằm giữa hai tia OM và Oy nên