Đề thi học sinh giỏi cấp huyện năm học: 2013-2014 Môn Toán - Lớp 8 Huyện Tĩnh Gia

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
HUYỆN TĨNH GIA 	ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
 	 Năm học: 2013-2014
 Môn Toán - Lớp 8
 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
 
Bài 1: (4.0 điểm)
Cho biểu thức M = 
1- Rút gọn M.
2- Tìm giá trị của a để biểu thức M đạt giá trị lớn nhất.
Bài 2: (4.0 điểm)
1- Chứng minh rằng lập phương của một số tự nhiên n bất kỳ (n > 0) trừ đi bảy lần số tự nhiên đó luôn chia hết cho 6.
2- Giải phương trình: 
Bài 3: (4.0 điểm)
1- Chứng minh rằng nếu , 
thì: 
2- Cho . Chứng minh rằng: 
Bài 4: (6.0 điểm)
 	Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác AD.
1- Chứng minh AD2 = AB.AC – DB.DC
2- Kẻ DE vuông góc với AB, DF vuông góc với AC. Đường thẳng qua D vuông góc với BC cắt AB, AC lần lượt tại M và N. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của BN và CM. Chứng minh tam giác ADP cân và tam giác BND vuông cân.
3- Chứng minh bốn điểm E, F, P, Q thẳng hàng. 
Bài 5: (2.0 điểm)
Tìm các cặp số tự nhiên (x;y) thỏa mãn: 


(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

Họ và tên thí sinh: ........................................................................... SBD: ...................
PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
HUYỆN TĨNH GIA 	HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG
 Môn Toán - Lớp 8
Bài
Tóm tắt lời giải
Biểu điểm
Bài1 (4đ)
1- Điều kiện: 
Ta có: M = 
= 
= 
= 
= = 
Vậy M = với 
2- Ta có M = =
Vì với mọi a nên với mọi a
Dấu “=” xảy ra khi 
Vậy MaxM = 1 khi a = 2.
0,25




0,5




0,5


0,5
0,25


0,5

0,5

0,5

0,5
Bài 2.
(4 đ)
1- Ta có: n3 – 7n = n3 – n – 6n = n(n – 1)(n + 1) – 6n
Trong ba số tự nhiên liên tiếp (n – 1), n, (n + 1) có một số chia hết cho 3 và ít nhất một số chia hết cho 2.
Suy ra tích n(n – 1)(n + 1) chia hết cho tích 2.3 hay n(n – 1)(n + 1) ⋮6
Mặt khác 6n⋮6 với mọi n
Do đó: n(n – 1)(n + 1) – 6n ⋮6
Vậy n3 – 7n ⋮6.
2- Ta có:  ; 
 nên phương trình xác định với mọi 
Phương trình 


 (thỏa mãn)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2.
0,5

0,5
0,5


0,5



0,5




0,5


0,5
0,25
0,25
Bài 3 (4đ)

1- Vì nên 

= 
= (với )
2- Ta có 
 
 
. 	BĐT luôn đúng vì .


0,5


0,5

1,0



0,75


0,75


0,5




Bài 4: (6đ)

1- Trên tia đối của tia DA lấy 
điểm I sao cho 
Ta có: rABI#rADC (g-g)
 (*)
Lại có: rADC#rBDI (g-g)



Kết hợp với (*) ta có:
 (đpcm)
2- * Chứng minh tam giác ADP cân:
Hai tam giác vuông BAN và BDN có
các đường cao tương ứng là AP và DP ứng 
với cạnh huyền BN 
Do đó tam giác APD cân tại P.
* Chứng minh tam giác BND vuông cân:
Tứ giác AEDF có: (gt)
 AEDF là hình chữ nhật
Mặt khác AD là đường phân giác của góc A.
Do đó tứ giác AEDF là hình vuông DE = DF (1)
và . Mà (gt) (cùng phụ ) (2)
Xét hai tam giác vuông BED và NFD, từ (1) và (2) suy ra:
r BED = r NFD (cạnh huyền – góc nhọn)
 BD = ND. Do đó tam giác BND vuông cân tại D.
3- AD và EF là hai đường chéo của hình vuông AEDF nên EF là đường trung trực của đoạn thẳng AD.
Theo chứng minh câu a) AP = PD nên P thuộc đường trung trực của đoạn AD.
Chứng minh tương tự câu a, ta cũng có , do đó Q thuộc đường trung trực của đoạn AD.
Vậy 4 điểm E,F, P, Q thẳng hàng.

0, 5


0,5


0,5

0,5

0, 5



0, 5

0,25


0,5


0,5

0,5
0,25

0,25

0,25


0,25
0,25
Bài 5: (2đ) 

Đặt M = = 
	= 
	= = 
	= 
- Với x = 0 thì M = 0 y = 0
- Với x = 1 thì M = 4 y = 2
- Với lập luận được không chính phương.
Vậy có 2 cặp số tự nhiên (x;y) thỏa mãn là (0;0) và (1;2).





0,5
0,25
0,25
0,75
0,25
(HS giải bằng cách khác, lập luận đúng vẫn cho điểm tối đa)