Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Toán Khối 9 - Năm học 2010-2011 - Phòng GD&ĐT Quế Sơn

UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC - VÒNG I
Bài 1: (1.5 điểm)
 a. Thực hiện trục căn ở mẫu biểu thức A = 	
 b. Thực hiện tính giá trị của biểu thức B = với x =
Bài 2: (3.0 điểm)
	Giải các phương trình, hệ phương trình sau:
 a.	
 b.	
 c. 
Bài 3:(3.5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC. Lấy điểm M thuộc cạnh AB, điểm N thuộc cạnh AC và điểm H thuộc cạnh BC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác MBH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác NCH tại P (P ¹ H).
 a. Chứng minh tứ giác AMPN nội tiếp trong một đường tròn.
 b. Đường thẳng HP cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMPN tại điểm thứ hai Q. Chứng minh AQ song song với BC.
 c. Khi M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC, AH là đường cao của tam giác ABC. HP cắt MN tại I. Chứng minh I là trung điểm của MN.
Bài 4:(2.0 điểm)
	Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh:
 a. p2 - 1 chia hết cho 6.
 b. p4 - 1 chia hết cho 48.
UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn: Toán
HƯỚNG DẪN CHẤM - VÒNG I
Bài 1: (1.5 điểm)
0,50
0,25
Thay x vào ta được B = 
0,25
- Nhân với lượng liên hợp:
0,25
Thực hiện nhân và rút gọn:
=
0,25
.
Bài 2: (3.0 điểm)
 ÛÛ
0,25
Được: hoặc 
0,25
Giải hệ: 
0,25
Giải hệ: 
0,25
Û Û
0,25
Û Û ( -1)2 = 0
0,25
Û -1=0. Û x2 - x - 1 = 0. 
0,25
Giải phương trình được x
Điều kiện và đối chiếu với điều kiện để kết luận nghiệm.
0,25
Có: x5 + y5 = (x+y)(x4 -x3y + x2y2 - xy3 + y4)
 = (x+y)( x4 + y4 -xy(x2 +y2) +x2y2)
 = (x+y)( (x2 + y2)2 - 2x2y2 - xy((x+y)2-2xy) + x2y2)
 = (x+y)(((x +y)2 -2xy)2- 2x2y2 - xy((x+y)2-2xy) + x2y2)
0,25
Thay x + y = 1 được :
 x5 + y5 = (1-2xy)2 -2x2y2 - xy(1-2xy) + x2y2
 = 1 - 4xy + 4x2y2 - 2x2y2 - xy + 2x2y2 + x2y2
 = 1 - 5xy + 5x2y2
0,25
Đặt t = xy ta được phương trình :
 5t2 - 5t + 1 = 11 Û t2 - t - 2 = 0
Giải phương trình được : t1 = -1; t2 = 2
0,25
Giải các hệ: và 
được nghiệm :  ; 
0,25
A
B
C
H
M
N
P
Q
I
Bài 4: (3.5 điểm)
- Tứ giác MBHP nội tiếp Þ ÐMPH + ÐMBH = 1800
- Tứ giác NCHP nội tiếp Þ ÐNPH + ÐNCH = 1800
- Cộng được ÐMPH +Ð NPH + ÐMBH + ÐNCH = 3600.
- Thay ÐMPH + ÐNPH = 3600 - ÐMPN và ÐMBH + ÐNCH = 1800 - ÐMAN vào được:
 3600 - MPN + 1800 - A = 360
- Þ ÐMPN + ÐMAN = 1800 Þ tứ giác AMPN nội tiếp trong một đường tròn
0,50
0,25
0,25
- ÐMPH + ÐMBH = 1800 và ÐMPH + ÐMPQ = 1800 Þ ÐMBH = ÐMPQ.
- ÐMPQ + ÐMAQ = 1800 nên ÐMBH + ÐMAQ = 1800 Þ BC // AQ.
(Có thể chứng minh ÐCHN = ÐNPQ = ÐNAQ)
0,50
0,50
- MN là đường trung bình của DABC Þ MN//BC Þ MN// AQ 
- Þ MAQN là hình thang cân Þ AM = QN và AN = QM.
- MA = MH (MN đi qua trung điểm AH và vuông góc với AH)
- Þ MH = MA = QN.
- Tương tự: NH = NA = QM.
- Þ MHNQ là hình bình hành Þ I là trung điểm của MN
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 4:(2.0 điểm) 
- p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ Þ p2 lẻ Þ p2 - 1 chẵn Þ p2 - 1 chia hết cho 2.
- p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 3 Þ p = 3k± 1
- p2 - 1 = 9k2. ± 6k = 3(3k2 ± 2k) Þp2 - 1 chia hết cho 3.
- Do (2,3) = 1 nên p2 -1 chia hết cho 6.
0,25
0,25
0,25
0,25
- p4 - 1= (p2 -1)(p2 + 1)
- p là số lẻ Þ p2 lẻ Þ p2 + 1 chẵn Þ p2 + 1 chia hết cho 2.
- p là số lẻ. Đặt p = 2k+1 Þ p2 - 1 = 4k2 + 4k = 4k(k+1).Do k(k+1) chia hết cho 2 nên p2 - 1 = 4k(k+1) chia hết cho 8.
- Do (3,8) = 1 nên p2 - 1 chia hết cho 24 Þ (p2 -1)(p2 + 1) chia hết cho 48.
0,25
0,25
0,25
0,25
UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC - VÒNG II
Bài 1:(2.0 điểm)
 a. Chứng minh bất đẳng thức: (a2 + b2 )(x2 + y2 ) ³ (ax + by)2. Dấu “=” xảy ra khi nào?
 b. Cho hai số x, y thỏa 2x + 5y = 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của: 
	A = x2 + y2	B = 2x2 + 5y2
Bài 2: (2.0 điểm)
Cho ba số a, b, c thỏa: . 
 a. Chứng minh rằng trong ba số a, b, c có ít nhất hai số đối nhau.
 b. Chứng minh : .
Bài 3: (2.5 điểm)
	Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi M, N lần lượt là điểm chính giữa của các cung nhỏ AB, AC. BN cắt CM tại Q.
 a. Chứng minh tam giác NAQ cân.
 b. MN cắt AB tại K. Chứng minh KQ song song với AC.
 c. KQ cắt BC tại I, AQ cắt (O) tại P. Chứng minh ba điểm N, I, P thẳng hàng.
Bài 4: (2.0 điểm)
 a. Cho tam giác ABC. D là điểm thuộc cạnh BC. Đường thẳng qua B song song với AD cắt AC tại E. Đường thẳng qua C song song với AD cắt AB tại F. Xác định vị trí điểm D để đạt giá trị lớn nhất.
 b. Đặt a, b, c lần lượt là độ dài ba cạnh BC, AC, AB và x, y, z lần lượt là độ dài ba phân giác AD, BM, CN của tam giác ABC. Chứng minh: .
Bài 5:(1.5 điểm)
	Tam giác vuông ABC có số đo các cạnh là số nguyên và số đo diện tích bằng số đo chu vi. Hãy tìm số đo các cạnh.
UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn: Toán
HƯỚNG DẪN CHẤM - VÒNG II
Bài 1:(2.0 điểm)
 (a2 + b2 )(x2 + y2 ) ³ (ax + by)2
Û a2x2 + b2y2 + a2y2 + b2x2 ³ a2x2 + b2y2 + 2abxy
Û a2y2 + b2x2 -2abxy ³ 0
Û (ay - bx)2 ³ 0. Bất đẳng thức cuối luôn đúng.
0,50
Dấu ‘=’ xảy ra khi ay = bx.
0,25
Có : (22 + 52 )(x2 + y2 ) ³ (2x + 5y)2 = 49 Û 
0,25
Dấu ‘= ‘ xảy ra khi Û
Kết luận : A có giá trị nhỏ nhất là khi 
0,25
Có : 
0,25
Û Û 
0,25
Dấu ‘=’ xảy ra khi 
Kết luận : A có giá trị nhỏ nhất là 7 khi x = y = 1
0,25
Bài 2:(2.0 điểm)
0,25
0,50
Hay ít nhất hai trong ba số đối nhau.
0,25
Nếu a = -b được:
0,75
Tương tự cho trường hợp a = -c; b= -c ta đều có đpcm
0,25
B
C
A
E
F
D
Bài 3: (2.5 điểm)
A
B
C
M
N
Q
K
I
P
CM và BN là hai phân giác của tam giác ABC nên AQ là phân giác thứ ba.
0,25
Gọi P là giao điểm của AQ và (O), có Q là điểm chính giữa của cung nhỏ BC
0,25
NAQ = sđ(NC + CQ)/2
AQN = sđ(BQ + AN)/2.
Do N, Q lần lượt là điểm chính giữa của các cung AC, CB Þ NAQ = AQN Þ NAQ cân tại N.
0,25
NAQ cân tại N Þ NK là trung trực của AQ (Vì nó là phân giác).
0,25
Þ KQA cân Þ KQA = KAQ
0,25
KAQ = QAC nên KQA = QAC Þ KQ// AC
0,25
- Chứng tỏ được IQC cân tại I Þ 
0,25
- Chứng tỏ được NQC cân tại N Þ
0,25
- Chứng tỏ được QPC cân tại P Þ
0,25
- Þ I, N, P cùng thuộc trung trực của QC nên chúng thẳng hàng.
0,25
Bài 3: (2.0 điểm)
- Có: , =
0,25
Þ =.=
0,25
- Do BC không đổi, tổng CD + BD = BC không đổi nên đạt giá trị lớn nhất khi CD = BD. Hay D là trung điểm của BC và đạt giá trị lớn nhất là
0,25
- Khi AD là phân giác, chứng tỏ được DAEB cân tại A Þ AE = AB = c
0,25
- Có 
0,25
- Do BE < AE + AB = 2c nên: 
0,25
Chia hai vế cho số dương 2c được:
0,25
Tương tự:
và . Cộng được đpcm.
0,25
Bài 5:(1.5 điểm)
Gọi x, y, z là số đo ba cạnh của tam giác. 0 < x £ y < z
Ta có :
0,25
Từ (2) được 2z = xy-2x-2y.
Từ (1) được : 4x2 + 4y2 = (2z)2.
Thay 2z vào ta được: 4x2 + 4y2 = (xy-2x-2y)2
0,25
4x2 + 4y2 = x2y2 + 4x2 + 4y2 - 4x2y - 4xy2 +8xy.
xy(xy- 4x - 4y + 8) = 0
x(y- 4) - 4(y-4) = 8 (Do 0 < x £ y )
(y-4)(x-4) = 8
0,50
0,25
Loại các trường hợp không phù hợp với điều kiện được nghiệm :
 hoặc 
0,25