Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 9 - Năm học 2008-2009 - Phòng GD&ĐT Quế Sơn

UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2008-2009
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC - VÒNG I
Câu 1: (2.0 điểm)
	Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P). Hai điểm A, B thuộc (P) có hoành độ lần lượt là -1 và 2.
a. Viết phương trình đường thẳng AB.
b. Tìm điểm M thuộc cung AB của đồ thị (P) sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất.
Câu 2: (2.0 điểm)
	Giải các phương trình
a. .
b. 
Câu 3: (2.0 điểm)
	Cho ba số y, z, t. Đặt a = y + z + t; b = yz + zt + ty; c = yzt. Chứng minh các phương trình ẩn x sau đều có nghiệm.
	x2 + 2ax + 3b = 0
	ax2 - 2bx + 3c = 0
Câu 4: (3.0 điểm)
Cho đường tròn tâm O. Từ điểm M ở ngoài đường tròn vẽ các tiếp tuyến MC, MD với (O) (C, D là các tiếp điểm). Vẽ cát tuyến MAB không đi qua tâm O, A nằm giữa M và B. Tia phân giác của góc ACB cắt AB tại E.
a. Chứng minh MC = ME.
b. Chứng minh DE là phân giác của góc ADB.
c. Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh IM là phân giác của CID.
Câu 5: (1.0 điểm) 
	Cho A(n) = 5n(5n+1) - 6n(3n + 2n). Chứng minh rằng: A(n) chia hết cho 91 với mọi số n nguyên dương. 
UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2008-2009
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM - VÒNG I
Câu 1: (2.0 điểm)
- A, B thuộc đồ thị hàm số y = x2 nên có toạ độ A(-1;1), B(2;4).
- Phương trình đường thẳng AB có dạng y = ax + b.	(*)
- Thay toạ độ của A, B vào (*) được: . Vậy phương trình đường thẳng AB là y = x + 2.
- Gọi m là hoành độ của điểm M. Có M(m;m2) và mÎ [-1, 2]. Gọi C, D, N lần lượt là hình chiếu của A, B, M lên trục hoành ta có:
 NC = m+1; ND = 2-m; CD = 3
- SAMB = SABCD - (SAMNC + SMBDC).
- Tính được: 
 SABCD = 
 SAMNC = 
 SMBDN = 
- SAMB = 
. Dấu “=” xảy ra khi .
- Do nên SAMB lớn nhất là(đvdt)
A
B
C
N
D
M
(Mỗi ý cho 0,25 điểm)
Câu 2: (2.0 điểm)
a. (1.0 điểm)
- 
- Đặt y = () được:
.
- Giải được: y1 = 4; y2 = -5.
- Tìm x với y1 và y2 vừa tìm được:
 x2 - 2x = - 5 Û x2 - 2x + 5 = 0. Phương trình vô nghiệm.
 x2 - 2x = 4 Û x2 - 2x - 4 = 0. Phương trình có hai nghiệm 
b. (1.0 điểm)
- Nhân hai vế với được: 
- Û 
 Û 
- Û 
- Có . Vậy phương trình vô nghiệm.
( Trong trường hợp này không cần thử lại hoặc đặt điều kiện).
Câu 3: (2.0 điểm)
a.(0.75 điểm): Phương trình x2 + 2ax + 3b = 0 	(1)
- 	D’=a2 - 3b = (y + z + t)2 - 3(yz + zt + ty) = y2 + z2 + t2 -yz - zt - ty
- = [(y-z)2 + (z-t)2 + (t-y)2] 
- D’≥ 0 nên (1) luôn có nghiệm.
b. (1.25 điểm): Phương trình ax2 - 2bx + 3c = 0	(2)
Xét a = 0:
- Nếu b = 0 Þ a2 - 3b = 0 Þ [(y-z)2 + (z-t)2 + (t-y)2] = 0 
 Þ y = z = t = 0 Þ c = 0. Lúc đó phương trình (2) có vô số nghiệm.
- Nếu b ≠ 0 Þ Phương trình (2) có nghiệm duy nhất.
Xét a ≠ 0:
- D’= b2 -3ac = (yz + zt + ty)2 - 3(y + z + t)yzt 
= (yz)2 + (zt)2 + (ty)2 +2z2yt + 2y2zt + 2t2zy - 3y2zt- 3z2yt - 3t2zy 
	= (yz)2 + (zt)2 + (ty)2 - y2zt- z2yt - t2zy 
-	=[(yz-zt)2+(zt-ty)2+(ty-yz)2].
- D’≥ 0 nên (2) luôn có nghiệm.
Câu 4: (3.0 điểm)
M
C
D
B
A
O
I
E
F
G
a.(1.0 điểm)
- Gọi F là giao điểm của CE với (O). Có AF = BF
- sđ AEC = sđ =sđ 
 = sđ = sđ 
- Þ D MCE cân tại M nên MC = ME.
(Mỗi ý cho 0,25 điểm- Riêng ý 2 cho 0,50 điểm)
b.(1.0 điểm) 
Gọi G là giao điểm của DE với (O).
- MD = MC = ME Þ DMDE cân tại M Þ Ð MDE =Ð MED
- sđ MDE = sđ = sđ+ sđ.
- sđ MED = sđ+ sđ
- Þ sđ= sđÞ Ð ADG = Ð GDB hay DE là phân giác của góc ADB.
c.(1.0 điểm)
- I là trung điểm của dây AB Þ OI ^IM.
- MC, MD là tiếp tuyến của (O) nên OC ^ CM; OD^DM.
- Þ Các điểm M, C, I, O, D nằm trên đường tròn đường kính MO.
- MC = MD ÞMC = MD Þ Ð CIM = Ð DIM. Hay IM là phân giác của góc CID.
(Mỗi ý của b,c cho 0,25 điểm)
Câu 5: (1.0 điểm)
-	A(n) 	= 25n + 5n - 18n - 12n 
	= (25n - 18n) - (12n - 5n)
- (25n - 18n); (12n - 5n) đều chia hết cho 7 nên A(n) chia hết cho 7
- 	A(n)	= (25n - 12n) - ( 18n - 5n ).
- (25n - 12n); ( 18n - 5n ) đều chia hết cho 13 nên A(n) chia hết cho 13.
- (13,7) = 1 nên A(n) chia hết cho 13.7 = 91.
(Mỗi ý cho 0,25 điểm)
UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2008-2009
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC - VÒNG II
Câu 1: (2.0 điểm)
a. Cho a, b là các số thực không âm tuỳ ý. Chứng tỏ rằng:
	. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
b. Cho x, y, u, v là các số thực không âm thay đổi và có tổng bằng 1. 
- Chứng minh 
- Hãy tìm giá trị lớn nhất của S = .
Câu 2: (2.0 điểm)
Giải các hệ phương trình sau:
a . 	b. 
Câu 3: (2.0 điểm)
	Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AD lấy điểm M, trên cạnh DC lấy điểm N sao cho góc MBN bằng 450. Đường chéo AC cắt BM tại E và cắt BN tại F.
	a. Tính số đo góc ENB.
	b. Gọi G và H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác EBC và EDF. Chứng minh GH song song với MB.
Câu 4: (3.0 điểm)
	Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho. Gọi A’ là giao điểm của BN và CP, B’ là giao điểm của CP và AM, C’ là giao điểm của AM và BN. Đường thẳng qua N song song với BC cắt AM tại Q. Đường thẳng qua A song song với BC cắt đường thẳng CP tại D.
	a. Tính các tỉ số: .
	b. Chứng minh: .
	c. Gọi S là diện tích tam giác ABC. Tính diện tích tam giác A’B’C’ theo S .
Câu 5: (1.0 điểm)
	Chứng minh rằng: 
Không tồn tại các số nguyên x, y, z để x3 + y3 + z3 = 2008 + x + y + z.
UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2008-2009
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM - VÒNG II
Câu 1: (2.0 điểm)
a. (1.0 điểm)
- .
- Dấu “=” xảy ra khi a = 0 hoặc b = 0.
- .
- Dấu “=” xảy ra khi a = b.
b. (1.0 điểm)
- S =
- S = 
.
- Dấu “=” xảy ra khi x = y và u = v và x + y = u + v và x + y + u + v = 1.
- thoả. Vậy Max S= 2.
(Mỗi ý cho 0,25 điểm)
Câu 2: (2.0 điểm)
a. (1.0 điểm)
- Xem (1) là phương trình bậc hai ẩn x. Giải phương trình này được .
- Với x = 2y. Thay vào (2) được: 
	2(2y)2 - 3.(2y).y + 5 = 0 Û 8y2 - 6y2 + 5 = 0 Û 2y2 + 5 = 0. PT vô nghiệm.
- Với x = y. Thay vào (2) được:
	2x2 - 3x2 + 5 = 0 Û x2 = 5 Û 
- Hệ có nghiệm: và 
b.(1.0 điểm)
- Thay xy từ (2) vào (1) được:
 Û Û 
- Û Û
- Tiếp tục thay, được:Û.
- Û ÛÛÛ
(Mỗi ý cho 0,25 điểm)
Câu 3:(2.0 điểm)
- Ð EBN = 450 (gt); 
- Ð ECN = 450(AC là đường chéo hình vuông). 
- Þ tứ giác BCNE nội tiếp. 
- Þ ÐENB = ÐECB = 450. 
- Þ EBCN nội tiếp đường tròn đường kính BN Þ Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ECB là trung điểm G của BN và EM ^ EN.
- Tương tự chứng minh được ABFM nội tiếp Þ MF ^ BN.
- ÞD, M, E, F, N cùng thuộc đường tròn đường kính MN Þ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF là trung điểm H của MN
- HG là đường trung bình của tam giác MNB nên HG song song với BM.
A
M
B
E
N
C
D
H
G
I
F
(Mỗi ý cho 0,25 điểm)
Câu 4:(3.0 điểm)
- 
- 
- (1)
- 
- 
- 
A
B
M
N
P
D
Q
C’
A’
B’
C
- . Do MQ = nên C’M =AM.
- Từ (1) có AB’ = 
- Vậy B’A =B’C’
- MC= Þ SAMC = . B’M = Þ SCMB’=SAMC = .S
- A’B’=B’C Þ SA’MB’ =SCMB’ =..S
- C’B’ = B’M Þ SA’B’C’= .SA’MB’ =. ..S =S
(Mỗi ý cho 0,25 điểm)
Câu 5: (1.0 điểm)
- 	x3 + y3 + z3 = 2008 + x + y + z Û x3 -x + y3 - y + z3 - z = 2008 
- Có x3 - x = x(x2 - 1) = (x-1)x(x+1) chia hết cho 3 (Tích của ba số tự nhiên liên tiếp). Tương tự + y3 - y ; z3 - z chia hết cho 3
- Þ x3 -x + y3 - y + z3 - z chia hết cho 3. 
- 2008 không chia hết cho 3 nên không tồn tại x, y, z nguyên thoả x3 + y3 + z3 = 2008 + x + y + z.
(Mỗi ý cho 0,25 điểm)