Đề thi học sinh giỏi cấp Quận vòng 1 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD&ĐT Long Biên (Có đáp án)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẬN LONG BIÊN 
KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN VÒNG 1
Năm học: 2020-2021. 
Môn: TOÁN

(6,0 điểm). Cho biểu thức với và .
Chứng minh rằng 
Tính giá trị của biểu thức biết: .
(4,0 điểm). Giải các phương trình sau:
. 
(3,0 điểm). 
Cho là tích của số nguyên tố đầu tiên. Chứng minh rằng không là số chính phương.
Tìm các số nguyên thỏa mãn điều kiện: .
(6,0 điểm) 
Cho tam giác vuông tại có . Kẻ đường cao (), phân giác (). Kẻ vuông góc với tại ; vuông góc với tại .
Cho =9cm, =12cm. Tính độ dài các đoạn thẳng và .
Chứng minh rằng .=. và là tia phân giác của góc .
Chứng minh rằng 
(1,0 điểm). 
Cho a, b là các số thực dương. Chứng minh rằng .
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện . 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
–HẾT—

HƯỚNG DẪN GIẢI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẬN LONG BIÊN 
KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN VÒNG 1
Năm học: 2020-2021. 
Môn: TOÁN

Cho biểu thức với và .
Chứng minh rằng 
Tính giá trị của biểu thức biết: .
Lời giải
Chứng minh rằng 
Ta có:
 (đpcm)
Tính giá trị của biểu thức biết: .
Xét phương trình: . (1)
Ta có phương trình: 
+/ TH2: 
Ta có phương trình: .
Vậy .
Kết hợp với ĐKXĐ ta thấy: 
Thay vào biểu thức 
Vậy thì giá tri của biểu thức 
(4,0 điểm). Giải các phương trình sau:
. 
Lời giải
 ĐKXD: 
Vậy .
. 
Vây .
(3,0 điểm). 
Cho là tích của số nguyên tố đầu tiên. Chứng minh rằng không là số chính phương.
Tìm các số nguyên thỏa mãn điều kiện: .
Lời giải
Cho là tích của số nguyên tố đầu tiên. Chứng minh rằng không là số chính phương.
Vì trong số nguyên tố đầu tiên chỉ có là số nguyèn tố chẵn duy nhất nên chẵn và không chia hết cho 4 (1). Suy ra là số lẻ.
Giả sử là một số chính phương thì tồn tại số nguyên dương sao cho .
Suy ra . Điều này trái với (1)
 Vậy không là một số chính phương.
Tìm các số nguyên thỏa mãn điều kiện: .
Ta thấy: là số lẻ.
Ta lại có: . Do dó 
Lúc đó: nên .
Ta thấy các cặp số thỏa mãn (*)
nên là nghiệm của phương trình.
(6,0 điểm) Cho tam giác vuông tại có . Kẻ đường cao (), phân giác (). Kẻ vuông góc với tại ; vuông góc với tại .
Cho =9cm, =12cm. Tính độ dài các đoạn thẳng và .
Chứng minh rằng .=. và là tia phân giác của góc .
Chứng minh rằng 
Lời giải
Cho =9cm, =12cm. Tính độ dài các đoạn thẳng và .
Ta có: 
Xét tam giác vuông tại có 
Suy ra: .
Thay vào (*) ta có .
Chứng minh rằng .=. và là tia phân giác của góc .
Xét và có:
 chung 
Suy ra: đồng dạng với ( ) .
Xét và có:
 chung
Suy ra: đồng dang với 
Suy ra: có 
Mà 
Suy ra: là tia phân giác của góc (đpcm)
Chứng minh rằng 
Chứng minh:
Suy ra tứ giác là hình chữ nhật.
Mà là phân giác của góc nên tứ giác là hình vuông
Do đó, .
Xét có: là phân giác của góc () (1)
Chứng minh tương tự: là tia phân giác của góc .
Xét có: là phân giác của góc . 
Suy ra 
Từ (1), (2) suy ra:
 (vì (đpcm).
(1,0 điểm). 
Cho a, b là các số thực dương. Chứng minh rằng .
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Lời giải
Cho a, b là các số thực dương. Chứng minh rằng .
Ta có: .
 (Luôn đúng với mọi a, b dương)
Vậy .
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức .
Ta có: 
 (Đã chứng minh ở ý 1) Dấu “=” xảy ra khi .
Vậy 
Chứng minh tương tự:
(2). Dấu “=” xảy ra khi .
.
(3). Dấu "=" xảy ra khi .
Dấu "=" xày ra khi 
Vậy Max