Đề thi học sinh giỏi cấp Quận vòng 2 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD&ĐT Long Biên (Có đáp án)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẬN LONG BIÊN
KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN VÒNG 2
Năm học: 2020-2021. 
Môn: TOÁN

(6,0 điểm). 
Giải phương trình: .
Cho ba số thực thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng: 
Cho các số nguyên thoả mãn điều kiện: .
Tính giá trị của biểu thức .
(3,0 điểm). 
Cho là các số nguyên thỏa mãn điều kiện: chia hết cho . Chứng minh: chia hết cho . 
Có tồn tại hay không 3 số nguyên thỏa mãn điều kiện: 
.
( 3,0 điểm). 
Cho là hai số thực dương. Chứng minh rằng: .
Cho số thực thỏa mãn . Tìm GTNN của biểu thức: 
.
(7,0 điểm).Cho tam giác có ba góc nhọn, ba đường cao , , cắt nhau tại . 
Chứng minh: .= .và . + CHCE= .
Chứng minh .cot. 
Gọi là trung điểm của . Đường thẳng qua vuông góc với cắt đường thẳng , lần lượt tại và . Chứng minh rằng: . 
 (1,0 điểm).Trên bảng, người ta viết các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 100 sau đó thực hiện trò chơi như sau: Mỗi lần xóa hai số a, b bất kỳ trên bảng và viết một số mới bằng lên bảng. Việc làm này thực hiện liên tục, hỏi sau 99 bước số cuối cùng còn lại trên bảng là bao nhiêu? Tại sao? 
–HẾT—

HƯỚNG DẪN GIẢI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẬN LONG BIÊN
KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN VÒNG 2
Năm học: 2020-2021. 
Môn: TOÁN

(6,0 điểm). 
Giải phương trình: .
Cho ba số thực thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng: 
.
Cho các số nguyên thoả mãn điều kiện: .
Tính giá trị của biểu thức .
Lời giải
Giải phương trình: .
Đặt 
ĐKXD: .
Phương trình trờ thành: .
Ta có (loại) hoặc (thỏa mãn). 
Với ta có :
 hoặc 
Vậy phương trình có tập nghiệm là .
Cho ba số thực thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng: 
.
Ta có 
Cho các số nguyên thoả mãn điều kiện: .
Tính giá trị của biểu thức .
Đặt 
Ta có: 
Do là số nguyên có tồng bằng 0 và nên
Suy ra: .
(3,0 điểm). 
Cho là các số nguyên thỏa mãn điều kiện: chia hết cho . Chứng minh: chia hết cho . 
Có tồn tại hay không 3 số nguyên thỏa mãn điều kiện: 
.
Lời giải
 Cho là các số nguyên thỏa mãn điều kiện: chia hết cho . Chứng minh: chia hết cho . 
Ta có:
Giả sử đều chia dư 1 chia dư 1 (2)
Mà (theo giả thiết) (2)
Do đó (1) và (2) mâu thuẫn Điều già sử là sai.
 Trong ba số ít nhất có một số chia hết cho 2 
Từ (*) và (**) suy ra .
Có tồn tại hay không 3 số nguyên thỏa mãn điều kiện: 
.
Ta có: 
Tưng tự ta có: 
Biến đổi phương trình thành: . Mà .
Vậy không tồn tại ba số nguyên thỏa mãn điều kiện:
.
( 3,0 điểm). 
Cho là hai số thực dương. Chứng minh rằng: .
Cho số thực thỏa mãn . Tìm GTNN của biểu thức: .
Lời giải
Cho là hai số thực dương. Chứng minh rằng: .
Ta có: với mọi .
.
.
.
Cho số thực thỏa mãn . Tìm GTNN của biểu thức: .
Ta có .
Mà suy ra : .
 Áp dụng BĐT : với dấu bằng xảy ra khi ta có:
 dấu bằng xảy ra khi 
 dấu bằng xày ra khi 
Suy ra .
Vậy MinA =2093 khi và chi khi.
(7,0 điểm).Cho tam giác cóba góc nhọn, ba đường cao , , cắt nhau tại . 
Chứng minh: .= .và . + CH.CE= .
Chứng minh .cot. 
Gọi .. là trung điểm của . Đường thẳng qua vuông góc với cắt đường thẳng , lần lượt tại và . Chứng minh rằng: . 
Lời giải
Chứng minh: .= .và . + CH.CE= .

Xét tam giác: đông dạng có:
 chung
 đồng dạng 
nên 
Tương tự: đồng dạng 
nên 
Cộng vế với vế hai đằng thức ta được:
hay 
Chứng minh .cot. 
Chứng đồng dạng 
Xét vuông tại 
Gọi là trung điểm của . Đường thẳng qua vuông góc với cắt đường thẳng , lần lượt tại và . Chứng minh rằng: .
Chứng minh đồng dạng 
Chứng minh: đồng dạng 
Do 
 cân tại 
(1,0 điểm).Trên bảng, người ta viết các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 100 sau đó thực hiện trò chơi như sau: Mỗi lần xóa hai số a, b bất kỳ trên bảng và viết một số mới bằng lên bảng. Việc làm này thực hiện liên tục, hỏi sau 99 bước số cuối cùng còn lại trên bảng là bao nhiêu? Tại sao? 
Lời giải
Tồng tất cả các số ban đầu trên bảng: .
Qua mỗi bước ta thấy tồng giàm đi 2.
Lúc đầu tồng sau 99 bước số còn lai sẽ là .
– HẾT —