Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 tỉnh Phú Yên năm học:1996 - 1997

NguyeãnTtraàn Thi 
Lôùp Ñaïi Hoïc Toaùn 
ÑEÀ THI HOÏC SINH GIOÛI CAÁP TÆNH LÔÙP 12 TÆNH PHUÙ YEÂN 
NAÊM HOÏC:1996-1997 
(Thôøi gian:180 phuùt) 
(Voøng 2) 
Baøi 1: 
 Coù toàn taïi hay khoâng ba soá khaùc nhau a,b,c thoûa maõn ñaúng thöùc: 
 (a-b)5 +(b-c)5 + (c-a)5 =0 
Baøi 2: 
 Chöùng toû raèng vôùi moïi x>1 toàn taïi moät tam giaùc maø soá ño caùc caïnh laø nhöõng soá: 
 P1(x) = x4 +x3 +2x2 +x + 1 
 P2(x) = 2x3 +x2 +2x +1 
 P3(x) = x4 – 1 
 Chöùng toû raèng trong taác caû caùc tam giaùc ñoù, goùc lôùn nhaát ñeàu nhö nhau vaø tìm 
giaù trò cuûa goùc ñoù. 
Baøi 3: 
 Ba hoïc sinh: Hoøa , Phuù , Yeân ñi chôi nhaän thaáy moät ngöôøi laùi xe oâ toâ vi phaïm 
luaät leä giao thoâng , khoâng ai nhôù soá xe laø bao nhieâu,nhöng moãi ngöôøi ñeàu nhôù ñaëc ñieåm 
cuûa soá xe. Hoøa nhôù raèng hai chöõ soá ñaàu gioáng nhau, Phuù nhôù laø hai chöõ soá cuoái cuøng 
gioáng nhau. Yeân thì quaû quyeát raèng soù xe coù boán chöõ soá laø moät soá chính phöông. Chuùng 
ta haõy tìm baûn soá xe. 
Baøi 4: 
 Cho goùc tam dieän vuoâng Sxyz ñænh S. Goïi O laø ñieåm coá ñònh treân Sz sao cho 
SO=a. M, N laø hai ñieåm di ñoäng treân Sx vaø Sy sao cho SM+SN=a. Chöùng minh raèng ñaïi 
löôïng : MONSONSOM Ð+Ð+Ð laø moät haèng soá khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí cuûa M,N 
 Tìm quó tích taâm I cuûa hình caàu ngoaïi tieáp töù dieän OSMN. 
ÑEÀ THI HOÏC SINH GIOÛI CAÁP TÆNH LÔÙP 12 TÆNH PHUÙ YEÂN 
NAÊM HOÏC:1997-1998 
(Thôøi gian:180 phuùt) 
(Voøng 1) 
Baøi 1: 
Laäp phöông trình baäc hai coù heä soá nguyeân , coù 2 nghieäm laø cos720 vaø cos1440. 
Baøi 2: 
Cho haøm soá f(x) vaø haèng soá a thoûa maõn phöông trình : 
f(x)=f(x+a).f(x-a) Rx Î", 
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.softwarelabs.com
Chöùng minh raèng f(x) laø haøm tuaàn hoaøn vaø tìm chu kyø cuûa noù. 
Baøi 3: 
Giaûi heä phöông trình: 
ï
î
ï
í
ì
=-+
=++
=-+
8
6
2
333
222
zyx
zyx
zyx
Baøi 4: 
Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A coù BC=12a . Tìm taäp hôïp nhöõng ñieåm Mtrong 
maët phaúng (ABC) sao cho: ( )( ) 2kCMBMAMBMAM =+++ rrrrr (k laø haèng soá) 
Baøi 5: 
a)Cho töù dieän vôùi AB=a,CD=b. Ñoä daøi ñöôøng vuoâng goùc chung vaø goùc giöõa hai 
ñöông thaúng AB,ø CD töông öùng laø d,a .Chöùng minh raèng : 
V= asin.
6
1 abd 
 b)Cho hình laäp phöông ABCDA1B1C1D1 caïnh baèng a.Goïi M,N laàn löôït laø trung 
ñieåm cuûa BC vaøDD1. Tính MNCAV 11 
(Voøng 2) 
Baøi 1: 
 1) Tính: 
A = tg6(100) + tg6(500) + tg6(700) 
 2)Tìm caëp soá nguyeân döông(x,y) thoûa: 
 ( ) -=- 33614yx 
Baøi 2: 
 1) Cho caùc soá x1,x2,,x1998 thoûa: 1998199819973221 =-+×××+-+- xxxxxx Tìm giaù 
trò lôùn nhaát cuûa: 
 P = 1998199819973221 =-+×××+-+- yyyyyy trong ñoù: yk= k
yyy k+++ ...21 
 2) Cho daõy soá (an) xaùc ñònh bôûi: a0=1997, an+1=
1
2
+n
n
a
a . 
Chöùng minh raèng: [an]=1997-n (vôùi )9990 ££ n 
Baøi 3: 
Moãi ñieåm cuûa maët phaúng ñöôïc toâ bôûi hai maøu xanh, ñoû. Chöùng minh raèng toàn taïi 
moät tam giaùc ñeàu coù caïnh baèng 1 hoaëc 3 sao cho coù 3 ñænh cuøng maøu. 
Baøi 4: 
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.softwarelabs.com
(d1) ,(d2) laø 2 ñöôøng thaúng cheùo nhau vaø vuoâng goùc nhau. AB laø ñoaïn vuoâng goùc 
chung(A )2,1 dBd ÎÎ . M,N laø 2 ñieåm di ñoäng töông öùng treân d1,d2 sao cho: 
AM+BN=MN. Tìm taäp hôïp taâm maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän ABNM. 
ÑEÀ THI HOÏC SINH GIOÛI CAÁP TÆNH LÔÙP 12 TÆNH PHUÙ YEÂN 
NAÊM HOÏC:1999-2000 
(Thôøi gian:180 phuùt) 
(Voøng 1) 
Baøi 1: 
a) Giaûi phöông trình nghieäm nguyeân: 
x2 =y(y-1)(y-2)(y-3) 
b) Giaûi heä phöông trình: 
ï
î
ï
í
ì
=+
=+
=+
zxyz
yzxy
xyzx
2
2
2
2
2
2
Baøi 2: 
Chöùng minh raèng vôùi moãi soá nguyeân döông n cho tröôùc , phöông trình : 
x2n+1=x+1 coù ñuùng moät nghieäm soá thöïc. Goïi nghieäm thöïc ñoù laø xn. 
 Tìm : nn xLim¥® 
Baøi 3: 
 Cho 4 soá thöïc a,b,c,d thoûa maõn caùc ñieàu kieän:
î
í
ì
=+
=+
1
2
22 dc
ba
. 
Chöùng minh raèng : ab + ac + bd 21+£ 
Baøi 4: 
 Cho tam giaùc ABC caân taïi A. Goïi O laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ABC, 
M laø trung ñieåm cuûa caïnh AC vaø G laø troïng taâm cuûa tam giaùc ABM.Chöùng minh raèng 
OG vuoâng goùc vôùi B M. 
(Voøng 2) 
Baøi 1: 
 Tìm giaù trò lôùn nhaát, beù nhaát cuûa:
yx
zyxzyxA
sinsin1
coscoscoscos)sin(sin
+
++
= 
Baøi 2: 
Cho haøm soá f xaùc ñònh vôùi moïi Qx Î thoûa maõn : 
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.softwarelabs.com
 1999001)2000()
)()()(:,)
=
++=+Î"
fii
xyyfxfyxfQyxi
 Tính )2000
1999(f 
Baøi 3: 
 Trong maët phaúng Oxy cho hai ñöôøng thaúng (d) vaø ( D ) coù phöông trình: 
 (d): 25x-15y+12=o 
 ( D ): 3x+5y-26=0 
Ngöôøi ta goïi ñieåm nguyeân laø ñieåm coù caùc toïa ñoä laø caùc soá nguyeân . 
 a) Chöùng minh raèng khoâng coù ñieåm nguyeân naøo coù caùc khoaûng caùch töø ñoù ñeán 
ñöôøng thaúng (d) 
30
1
£ 
 b)Tìm caùc ñieåm nguyeân treân ñöôøng thaúng ( D ) sao cho khoaûng caùch töø ñoù ñeán 
ñöôøng thaúng (d) laø nhoû nhaát. 
Baøi 4: 
Cho töù dieän SABC vaø G laø troïng taâm cuûa töù dieän. Maët phaúng quay quanh AG caét caùc 
caïnh SB,SC taïi E vaø F.Giaû söû VSABC = V, VSAEF =V’. 
Chöùng minh raèng: 
2
1
9
4 '
££
V
V 
ÑEÀ THI HOÏC SINH GIOÛI CAÁP TÆNH LÔÙP 12 TÆNH PHUÙ YEÂN 
NAÊM HOÏC: 2000-2001 
(Thôøi gian:180 phuùt) 
(Voøng 1) 
Baøi 1: 
a)Giaûi phöông trình sau ñaây trong khoaûng (0,1): 
32x (x2-1) (2x2-1)2 = 1-
x
1 
b)Giaûi baát phöông trình: 
xxxx -+³+++ 41964 23 
Baøi 2: 
 Tìm phöông trình caùc ñöôøng tieáp tuyeán vôùi ñoà thò cuûa haøm soá: 
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.softwarelabs.com
x
xy 1
3 +
= sao cho moãi ñöôøng tieáp tuyeán cuøng vôùi hai tuïc toïa ñoä taïo neân moät tam giaùc 
coù dieän tích baèng 
2
1 
Baøi 3: 
 Trong tam giaùc ABC, ñöôøng phaân giaùc goùc A, trung tuyeán thuoäc goùc B vaø ñöôøng 
cao haï töø C caét nhau taïi moät ñieåm. Chöùng minh raèng : 
CB
AA
sinsin
sincos
+
= 
Baøi 4: 
 Chomotj soá töï nhieân coù möôøi chöõ soá 10921 ... aaaa . Chöõ soá ñaàu tieân a1 baèng soá caùc 
chöõ soá 0, chöõ soá thöù hai a2 baèng soá caùc chöõ soá 1, chöõ soá thöù ba a3 baèng soá caùc chöõ soá 
2,, chöõ soá cuoái cuøng a10 baèng soá caùc chöõ soá 9 trong caùch vieát soá ñoù. Tìm soá ñoù. 
(Voøng 2) 
Baøi 1: 
 a) Caùc soá a,b,c phaûi thoûa maõn ñieàu kieän gì ñeå : asin2x+bcos2x+c 0³ 
 vôùi moïi x. Chöùng minh raèng khi ñoù : acos2x+bsin2x+c 0³ ,vôùi moïi x 
 b)Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø nhoû nhaát cuûa haøm soá: 
 cxbxacxbxay +++++= 2222 sincoscossin 
Baøi 2: 
 Tìm toïa ñoä ñieåm naèm treân ñoà thò cuûa haøm soá y= 1+cosx vôùi p££ x0 
vaø caùch ñöôøng thaúng 423 =+ yx moät ñoaïn ngaén nhaát. 
Baøi 3: 
 Cho moät hình phaúng dieän tích baèng 1, ñöôïc phuû kín bôûi moät soá höõu haïn caùc hình 
troøn . Chöùng minh raèng trong soá caùc hình troøn ñoù coù theå choïn ra moät hình troøn coù dieän 
tích khoâng nhoû hôn 
9
1 , hoaëc moät soá hình troøn ñoâi moät rôøi nhau maø toång dieän tích cuûa 
chuùng khoâng nhoû hôn 
9
1 . 
Baøi 4: 
 Trong töù dieän ABCD caùc caïnh AD vaø BD vuoâng goùc vôùi nhau. Chaân ñöôøng 
vuoâng goùc haï töø D xuoáng maët phaúng (ABC) truøng vôùi tröïc taâm cuûa tam giaùc ABC. 
a)Chuùng minh raèng: )(6)( 2222 DCDBDACAACAB ++£++ 
Vôùi töù dieän naøo thì daáu baèng xaûy ? 
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.softwarelabs.com
 b)Vôùi töù dieän coù ñaúng thöùc ôû caâu a). Caét töù dieân bôûi moät maët phaúng (a ) song 
song vôùi AD vaø BC. Hoûi maët phaúng (a ) phaûi caùch AD moät khoaûng baèng bao nhieâu ñeå 
dieän tích thieát dieän ñöôïc giôùi haïn bôûi töù dieän vaø maët phaúng naøy coù giaù trò lôùn nhaát. 
ÑEÀ THI HOÏC SINH GIOÛI CAÁP TÆNH LÔÙP 12 TÆNH PHUÙ YEÂN 
NAÊM HOÏC: 2003-2004 
(Thôøi gian:180 phuùt) 
(Voøng 1) 
Baøi 1: 
 Giaûi phöông trình: 2
2
21
2
121 xxx -=-+ 
Baøi 2: 
 Cho tam giaùc ABC , BC = a , CA = b , AB = c .Ñaët S = a+b+c ; T = ab+bc+ca 
Chöùng minh raèng : TST 43 2 ££ . Haõy tìm baát ñaúng thöùc töông töï trong töù dieän. 
Baøi 3: 
 Cho daõy (un) thoûa: 
)2002(
2003
1
2
2
1
1
nnn uuu
u
+=
=
+
a) Xeùt tính hoäi tuï. 
 b) Tính : nn SLim¥® , vôùi å
= + -
=
n
i i
i
n u
uS
1 1 1
Baøi 4: 
 Cho a,b,c thoûa: a(1-a) + b(1-b) +c(1-c) 
3
4
£ . 
Tìm Min, Max cuûa P = a+b+c 
(Voøng2) 
Baøi 1: 
Cho ñoà thò (C): 
12 ++
+
=
xx
mxy .Chöùng minh raèng ñoà thò coù ba ñieåm uoán thaúng 
haøng. Vieát phöông trình qua ba ñieåm uoán. 
Baøi 2: 
Cho dcxbxaxxf +++= 23)( thoûa 1)
2
1(;1)1( ££
+
-
+
= ff vôùi moïi 1£x 
Chöùng minh raèng: 1;923 2 £"£++ xcbxax 
Baøi 3: 
 Tìm haøm f : R à R thoûa: f(xy)+f(x-y)+f(x+y+1)=xy+2x+1 Ryx Î" ,, 
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.softwarelabs.com
Baøi 4: 
 Cho tam giaùc ABC , treân caùc caïnh BC , CA , AB laáy M , N , P sao cho 
1>=== k
PB
PA
NA
NC
MC
MB . Bieát SABC = S. Tính dieän tích cuûa tam giaùc taïo bôûi ba ñöôøng 
thaúng AM , NB , PC. 
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.softwarelabs.com