Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2004 – 2005 môn : toán lớp 8

Phòng GD - ĐT yên thế cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
Trường THCS – TT Bố hạ Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
GV: Nguyễn Xuân Hường 
Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh
Năm học 2004 – 2005
Môn : Toán lớp 8
Thời gian : 150 phút
Câu 1 ( 2 điểm )
Phân tích các đa thức sau thành thừa số:
x4 +6x3 +7x2 - 6x + 1 
x8 +x4 +1 
Câu 2 ( 2 điểm )
cho x 0 và x + = a là một hằng số . Tính theo a các biểu thức :	 A = x3 + , B = x6 + ; C = x7 +
chứng minh rằng nếu a,b,c là 3 số thoả mãn a+b+c=2005 và thì 1 trong ba số a,b,c phải bằng 2005
Câu 3 ( 2 điểm )
Một người nông dân bán số dừa như sau : 
Lần thứ nhất bán 9 trái và số dừa còn lại
Lần thứ hai bán 18 trái và số dừa còn lại
Lần thứ ba bán 27 trái và số dừa còn lại
Với cách bán đó thì bán lần sau cùng thì vừa hết số dừa 
Biết rằng số dừa bán mỗi lần đều bằng nhau .
Hỏi người nông dân đã bán bao nhiêu lần , và số dừa đã thu hoạch là bao nhiêu?
Câu 4 ( 3 điểm )
Cho tam giác ABC vuông tại A , phân giác trong AD và phân giác ngoài AE . Cho biết AB<AC chứng minh các hệ thức sau :
a- 
b- 
Câu 5 ( 1 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên dương thoả mãn : 
Đáp án chấm Toán 8
Câu
Hướng dẫn chấm
Điểm
1.a
x4+6x3+7x2-6x+1
= x4+2x2(3x-1)+(3x-1)
=(x2+3x-1)2
0,5
0,5
1.b
Ta có : x8 +x4 +1 = x8 +2x4 +1-x4
=(x4+1)2 –x4
 = (x4-x2+1) (x4+x2+1)
0,5
0,5
2.a
Tính đúng A=a3-3a
Tính đúng B=a6-6a4+9a2-2
0,5
0,5
2.b
Từ giả thiết suy ra 
từ đó biến đổi thành (a+b)(b+c)(a+c)=0
Điầu phải chứng minh
3
Giả sử người đó bán x lần ( xN;x3)
Vì lần cuối bán vừa hết , nên lần cuối người đó bán 9x trái . Vì số dừa bán mỗi lần đều bằng nhau nên số dừa đã bán sau x lần là 9.x.x= 9x2 trái
Ta có phương trình : 9 +(x2-9)=x
GiảI phương trình ta có x = 5 thoả mãn 
Vậy người đó đã bán 5 lần và số dừa đã bán là 255 trái
0,5
0,5
0,5
0,5
4
a/ Ta có SABC=AB.AC =SABD+SADC
=AB.AD sin450 +AC .AD sin450
Suy ra AB.AC = (AB+AC).AD 
Do đó 
b/ SABC=AB.AC = SAEC-SAEB
AB.AC = ( AC-AB) 
Suy ra 
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
5
Giả sử xthế thì vì x là số nguyên dương nên x = 1,
 khi đó vì y là số nguyên dương suy ra y = 2 hoặc y=1
Nếu y = 2 thì z= 2
Nếu y= 1 thì không có z thoả mãn 
Vậy cặp số ( x,y,z) cần tìm thoả mãn điều kiện đầu bài là ( 1,2,2) và các hoán vị của nó
0,25
0,25
0,25
0,25