Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán Lớp 9 - Năm học 2011-2012 - Sở GD&ĐT Long An

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
 LONG AN MÔN THI : TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
 NGÀY THI : 11/4/2012
 THỜI GIAN : 150 phút (không kể thời gian phát đề) 
Bài 1: ( 4 điểm)
	1/ Không sử dụng máy tính, hãy thực hiện phép tính:
A = 
2/ Cho biểu thức B = 
a/ Tìm điều kiện xác định và rút gọn B.
b/ Tìm giá trị lớn nhất của B và giá trị x tương ứng.
Bài 2: (5 điểm)
	1/ Tìm hệ số a > 0 sao cho các đường thẳng y = ax – 1 ; y = 1 ; y = 5 và trục tung tạo thành hình thang có diện tích bằng 8 (đơn vị diện tích).
	2/ Cho các số x, y, z khác 0 thỏa mãn đồng thời và . Tính giá trị của biểu thức P = (x + 2y + z)2012.
Bài 3: (5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, BE, CF (DBC, EAC, F AB) cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) theo thứ tự ở M, N, K. Chứng minh rằng:
a/ BH.BE + CH.CF = BC2.
	b/ AH.AD + BH.BE + CH.CF = .
	c/ .
Bài 4: (3 điểm)
Cho đoạn thẳng CD = 6 cm, I là một điểm nằm giữa C và D ( IC > ID). Trên tia Ix vuông góc với CD lấy hai điểm M và N sao cho IC = IM, ID = IN, CN cắt MD tại K (, DN cắt MC tại L . Tìm vị trí của điểm I trên CD sao cho CN.NK có giá trị lớn nhất.
Bài 5: (3 điểm)
Tìm các cặp số (x; y) nguyên dương thỏa mãn: xy + 2x = 27 – 3y.
 - Hết -
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
 LONG AN MÔN THI : TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
 NGÀY THI: 11/4/2012
 THỜI GIAN: 150 phút (không kể thời gian phát đề) 
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài
Câu
Nội dung
Điểm
1
(4đ)
1
A = 
= 1
0,5
0,25
0,75
0,25
0,25
2
 a/ ĐKXĐ 
B = 
b) Với 
 Mà
Dấu “ = “ xãy ra khi (tmđk)
Vậy giá trị lớn nhất của B là khi x = 0. 
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
2
(5đ)
1
0,5
+) Kí hiệu hình thang ABCD cần tìm như hình vẽ.
+) Tính được C(; D(
 BC = ; AD = 
+) 
a = 2 ( Thỏa ĐK a > 0) 
+) Vậy phương trình đường thẳng là y = 2x – 1.
0,5
0,5
0,25
0,25
2
+) Ta có 
+) Do đó 
Thay vào ta được x = y = ; z =
Khi đó P = 
0,25
0.25
0,25
0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
3
(5đ)
a
+) Tứ giác DCEH có 
Tứ giác DCEH nội tiếp ( cùng chắn cung HD)
*BDE và BHC có và chung.
BDE đồng dạng BHC (g.g)
 (*)
*Chứng minh tương tự đẳng thức (*)ta được : CH.CF = CD.CB (**)
Cộng (*) và (**) theo vế ta được:
BH.BE + CH.CF = BC.BD + CD.CB
 = (BD + CD).BC
 = BC.BC = BC2 (1)
0,5
0,25
0,5
0,25
0,5
b
+) Chứng minh tương tự đẳng thức (1) ta được:
BH.BE + AH.AD = AB2 (2) và AH.AD + CH.CF = AC2 (3)
+) Cộng (1), (2), (3) theo vế ta được:
2(AH.AD + BH.BE + CH.CF) = AB2 + AC2 + BC2
 AH.AD + BH.BE + CH.CF = .
0,5
0.75
0.25
c
+) Ta có: ( cùng chắn cung MC)
 ( cùng phụ )
Nên BC là phân giác 
*MBH có BC là đường cao đồng thời là đường phân giác nên là tam giác cân tại B
BC đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh MH.
D là trung điểm của MH.
DM = DH.
*Ta có (*)
BHC và ABC có chung đáy BC nên ta có (**)
Từ (*) và (**) suy ra : (1)
Chứng minh tương tự đẳng thức (1) ta được:
 (2) và (3)
Công (1) (2) và (3) theo vế ta được :
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
4
(3đ)
+) IND vuông tại I có IN = ID (gt)
IND vuông cân tại I
* Chứng minh tương tự ta được IMC vuông cân tại I 
LCD có 
 LCD vuông cân tại L
DLMC
Mà MI CD (gt)
DL và MI là hai đường cao của CDM cắt nhau tại N
N là trực tâm CDM
CNMD hay CKMD
 CNI và MNK có:
 (đđ)
CNI đồng dạngMNK (g-g)
CN.NK = MN.NI
Ta có: MN.NI = (MI – NI).NI = ( CI – ID).ID = (CD – ID – ID).ID
 Đặt ID = x; x > 0 ta được:
MN.NI = (6 – 2x).x = 6.x – 2x2 = 
Dấu “ = “ xảy ra khi x = (TMĐK x > 0)
Vậy CN. NK có giá trị lớn nhất là khi ID = cm. 
0.5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
5
(3đ)
Ta có: xy + 2x = 27 – 3y
 hoặchoặchoặc 
do x > 0, y > 0.
(loại)hoặc(loại)hoặc(loại)hoặc(tđk)
Vậy cặp số nguyên dương cần tìm là (x; y) = (8;1)
0,5
0,25
1,0
1,0
0,25