Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán Lớp 9 - Năm học 2011-2012 - Sở GD&ĐT Thanh Hóa

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
 THANH HểA NĂM HỌC 2011 - 2012
 Đề CHíNH THứC
	 MễN: TOÁN 
 Lớp 9 - THCS
 Thời gian làm bài 150 phỳt khụng kể thời gian phỏt đề
 Ngày thi: 23 thỏng 3 năm 2012
Cõu I (4đ)
Cho biểu thức P = 
Rỳt gọn P
Tớnh giỏ trị của P khi x = 
Cõu II (4đ)
Trong cựng một hệ toạ độ, cho đường thẳng d: y = x – 2 và parabol (P): y = - x2. Gọi A và B là giao điểm của d và (P).
Tớnh độ dài AB.
Tỡm m để đường thẳng d’: y =- x = m cắt (P) tại hai điểm C và D sao cho 
CD = AB.
Cõu III (4đ)
Giải hệ phương trỡnh 
Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh 2x6 + y2 –2 x3y = 320
Cõu IV (6đ)
Cho tam giỏc nhọn ABC cú AB > AC. Gọi M là trung điểm của BC; H là trực tõm; AD, BE, CF là cỏc đường cao của tam giỏc ABC. Kớ hiệu (C1) và (C2) lần lượt là đường trũn ngoại tiếp tam giỏc AEF và DKE, với K là giao điểm của EF và BC. Chứng minh rằng: 
ME là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2).
KH AM.
Cõu V (2đ) 
Với . Tỡm tất cả cỏc nghiệm của phương trỡnh:
--------------------------------------
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HểA 
 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9
 NĂM HỌC 2011-2012
 Mụn : TOÁN 
 Ngày thi :18/02/2012
Cõu I: 
1, 
C1, 
a, (ĐK: ; x ≠ 5)
Đặt ( a ≥ 0)
b,
C2,
a, 	(ĐK: )
b) 
=> x= vỡ x>1ị P = ... ị 
Cõu II:
1) Hoành độ giao điểm là nghiệm phương trỡnh
x2 + x -2=0
=> x = 1 hoặc x = 2
Vậy A(1,-1) và B(-2;-4) hoặc A(-2;-4) vàB(1;-1) ị AB2 = (x2 – x1)2 + (y2 - y1)2 = 18
ị AB = 3
2)Để (d’) cắt (P) tại 2 điểm phõn biệt thỡ phương trỡnh x2-x+m=0 (1)
cú hai nghiệm phõn biệt 
Ta cú CD2 = (x1-x2)2+(y1-y2)2 mà 
nờn: 
Ta cú AB2 =18
nờn CD = AB Û CD2 = AB2 Û (x2-x1)2+(y2-y1)2=18 (*)
 Û 2(x1-x2)2 = 18 Û (x1-x2)2 = 9 
 Û (x1+x2)2 - 4x1x2 = 9 
 Û 1-4m-9 = 0 (Theo Viet)
 Û m = - 2 (TM)
Cõu III
1,ĐK x0, y0
C1, 
Dựng phương phỏp thế rỳt y theo x từ (1) thay vào pt (2) ta cú pt:
C2, 
Nhõn vế của hai PT được: (x+y)2 = 1 Û x+y = ± 1 (1)
Chia vế của hai PT được: (2)
Từ 4 PT trờn giải được (x;y) = (1/3;2/3); (2;-1); (-2/3;-1/3); (-2;1)
Thử lại: Chỉ cú hai nghiệm thoả món HPT là: (-2;1) và (1/3;2/3)
2, GPT: 2x6 + y2 – x3y = 320
C1, 
Cõu IV: (Đổi điểm C1 thành C’, C2 thành C’’ cho dể đỏnh mỏy và vẽ hỡnh)
1) Ta cú nờn tứ giỏc AEHF nội tiếp một đường trũn tõm chớnh là (C1) là trung điểm AH
2, gọi giao điểm AM với (C’) là I. ta cú: 
ME là tt của (C’’) ịME2 = MI. MA
ME là tt của (C’’) ị ME2 = MD. MK
ị MI. MA = MD. MK ị ... ị ÿ AIDK nt ị éAIK = éADK = 1v ị KI ^ AM (1)
Ta lại cú: éAIH = 1v (gúc nt chắn nửa (C’) ị HI ^ AM (2)
Từ (1) và (2) ị I; H; K thẳng hàng ị KH ^ AM (Đpcm)
Cõu V: GPT (1)
Do vai trũ x,y,z như nhau nờn 
* TH1: Nếu x= 0 => 
Ta cú VT < 0 mà VP 0 nờn trong trường hợp này khụng cú nghiệm
* TH2: Nếu x khỏc 0 mà 
 Dấu “=” xảy ra khi: x=1 hoặc z=1.
+ Ta lại cú: 
+ Tương tự: 
 . (2)
+ Mặt khỏc, vỡ: . Dấu “=” xảy ra khi : x = y = z = 1 
 Dấu “=” xảy ra khi : x = y = z = 1 (3)
+ Từ (2) và (3) chỉ đỳng khi: .Khớ đú x = y = z =1.
* Vậy phương trỡnh cú nghiệm duy nhất: .