Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Vĩnh Long năm học 2013 - 2014 môn thi: Toán lớp 9

Giáo viên: Mai Văn Vinh THCS Nguyễn Thị Thu
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
VĨNH LONG NĂM HỌC : 2013 - 2014
Môn thi : TOÁN LỚP 9
Thời gian làm bài : 150 phút
Ngày thi: 23 – 03 – 2014
Bài 1: (3.0 điểm)
a) Cho 2 3 4 96 97 98 991 3 3 3 3 ... 3 3 3 3S           . Chứng minh S chia hết cho 40.
b) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 2( ) 16 3x y xy  
Bài 2: (5.0 điểm):
a) Giải phương trình: 2
1 1 2
23 2 xx x
  
b) Giải phương trình: 1 2 1 5x x   
c) Giải hệ phương trình:
1
x 7
x y
x 12
x y
     
Bài 3: (4.0 điểm) Cho phương trình bậc hai: 2 22 1 0x mx m m     . (m là tham số thực)
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
Nhận xét về dấu các nghiệm của phương trình.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho 2 21 2x x đạt giá trị nhỏ
nhất.
Bài 4: (2.0 điểm) Hai vật chuyển động đều trên một đường tròn đường kính 20cm, xuất phát từ
cùng một lúc, từ cùng một điểm. Nếu chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây chúng lại gặp
nhau. Nếu chuyển động ngược chiều thì cứ 4 giây chúng lại gặp nhau. Tìm vận tốc của mỗi vật.
Bài 5: (5.0 điểm) Cho đường tròn tâm O, bán kính R không đổi, AB và CD là hai đường kính
bất kì của (O) (AB khác CD). Đường thẳng vuông góc với AB tại A cắt các đường thẳng BC,
BD lần lượt tại M và N. Gọi P , Q lần lượt là trung điểm của AM và AN, H là trực tâm của tam
giác BPQ.
a) Chứng minh hai tam giác BCD và BNM đồng dạng.
b) Chứng minh tứ giác MCDN nội tiếp được đường tròn.
c) Chứng minh rằng khi hai đường kính AB và CD thay đổi thì độ dài đoạn thẳng AH
luôn không đổi.
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác BPQ.
Bài 6: (1.0 điểm) Cho các số a, b, c thỏa mãn các điều kiện 0 < a < b và phương trình
2 0ax bx c   vô nghiệm. Chứng minh rằng : 3a b c
b a
  
------Hết------
Lưu ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.
ĐỀ CHÍNH THỨC
Giáo viên: Mai Văn Vinh THCS Nguyễn Thị Thu
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
VĨNH LONG NĂM HỌC : 2013 - 2014
Môn thi : TOÁN LỚP 9
HƯỚNG DẪN CHẤM