Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn thi: toán lớp 10 -Năm học: 2013 –2014 thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề

SỞ GD&ĐT BẮC NINH 
TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH 1 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG 
Môn thi: Toán 
Lớp 10 - Năm học: 2013 – 2014 
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề 
Câu 1 (2,0 điểm). Giải bất phương trình 
  1 6 13 9 1 2 6x x x x x        
Câu 2 (2,0 điểm). Giải hệ phương trình : 
13 1 2
17 1 4 2
x
x y
y
x y
  
     

      
Câu 3 (2,0 điểm). 
a) Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng: 
. . . 0DA BC DB CA DC AB  
     
b) Chứng minh định lý: “Ba đường cao của một tam giác đồng qui. 
Câu 4 (2,0 điểm). 
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A, biết 
phương trình cạnh BC là 3 3 0x y   , điểm A, B thuộc trục hoành, bán kính 
đường tròn nội tiếp tam giác r = 2. Xác định tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. 
Câu 5 (2,0 điểm). Cho tam giác ABC có ba cạnh có độ dài là a, b, c thỏa mãn điều 
kiện: 2ab + 3ac + 4bc = 9abc. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
5 6 7P
p a p b p c
  
  
, với 
2
a b cp   . 
Hết 
(Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm) 
Họ và tên thí sinh:  Số báo danh: . 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM 
Câu ĐÁP ÁN Điểm 
1 2,0 
ĐKXĐ: 1x  
Bpt   1 2 1 6 7 0x x x        
1,0 
* TH1: 
51 2
1. 6 221 6 7
xx
x x xx x
   
 
       
  
5
10
x
VN
x

 

 0,5 
* TH2: 
51 2 5 22
101. 6 221 6 7
xx x
xx x xx x
     
   
        
5 10x   
Vậy bpt đã cho có tập nghiệm là  5;10S  . 
0,5 
2 2,0 
ĐK: x > 0, y > 0. 
Hpt 
 
 
1 2 1 1 2 21 1
3 3 7
1 4 2 1 2 21 1 27 3 7
x y x yx x y
x y y x y
       
  
      
 1,0 
Nhân theo từng vế của (1) và (2) ta được: 
1 1 8
3 7x y x y
 

  6 7 4 0 6y x y x y x      (vì x > 0, y > 0) (3) 0,5 
Thay (3) vào (2) ta được 
1 21
3 21x x
  
11 4 7 22 8 7
21 7
x y     
Thử lại đúng. Vậy hpt đã cho có nghiệm   11 4 7 22 8 7; ;
21 7
x y
  
  
 
0,5 
3 2,0 
a 1,0 
 . . . . . .DA BC DB CA DC AB DA AC AB DB CA DC AB     
            
 0,5 
    . . 0AC DA DB AB DC DA AC BA AB AC      
         
 0,5 
b 1,0 
Gọi H là giao điểm của 2 đường cao đỉnh A, B . . 0HA BC HB CA  
   
 (1) 0,5 
Mặt khác, theo câu a, . . . 0HA BC HB CA HC AB  
     
 (2) 0,5 
Từ (1) và (2) suy ra . 0HC AB 
 
. Vậy HC vuông góc với AB (đpcm). 
4 2,0 
Ta có: B(1; 0). 
Giả sử A(a; 0). Suy ra  ; 3 3C a a  , 2 1 3 3;3 3
a aG
  
 
 
0,5 
 21 3. 1
2 2
S AB AC a   
   1 1 3 3 12 2p AB AC BC a      
0,5 
3 2 33 1
2 2
3 3 1 2 3
aaSr
p a
  
     
   
 0,5 
Vậy 
7 4 3 2 3 6;
3 3
1 4 3 2 3 6;
3 3
G
G
   
  
  
         
 0,5 
5 2,0 
Từ gt 
2 3 4 9
c b a
    
Ta có: 
1 1 1 1 1 12 3 4P
p a p b p a p c p b p c
     
                    
1,0 
Ta chứng minh BĐT  1 1 4 , 0x y
x y x y
  

 (*) 0,5 
(*)
1 1 4 1 1 4 1 1 4, ,
p a p b c p a p c b p b p c a
      
     
2 3 44 4.9 36P
c b a
       
 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. 
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 36. 
0,5 
--------------------------------- Hết -------------------------------