Đề thi học sinh giỏi cấp trường năm học 2013 - 2014 môn: toán - khối 10 thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2013 - 2014
MÔN: TOÁN - KHỐI 10
Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
(Đề có 01 trang gồm 05 câu)
SỞ GD&ĐT THANH HÓA
TRƯỜNG THPT NGA SƠN
Đề chính thức
Câu 1: (4.0 điểm)
 Tìm tập xác định của các hàm số sau:
 a. 
 b. 
Câu 2: (4.0 điểm)
 a. Giải phương trình: 
 b. Giải hệ phương trình: 
Câu 3: (4.0 điểm)
 Cho phương trình bậc hai: 
 a. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm.
 b. Giả sử là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của biểu thức A =
Câu 4: ( 4.0 điểm)
 a. Viết phương trình của hàm số bậc hai biết đồ thị là một parabol có đỉnh là A(1; -2) và parabol chắn trên đường thẳng (d) : y = x + 1 một dây cung (đơn vị độ dài).
 b. Tìm giá trị của m thoả mãn để hệ sau có nghiệm:
Câu 5: (4.0 điểm)
 a. Trong mặt phẳng Oxy cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết đỉnh A(1; 0), B(0; 2) và giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng 
 . Tìm toạ độ đỉnh C và D.
 b. Cho tam giác ABC. M là một điểm bất kì bên trong tam giác. Gọi x, y, z lần lượt là khoảng cách từ M xuống BC, AC, AB.
 Chứng minh: 
(; R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)
-----------Hết----------
ĐÁP ÁN MÔN TOÁN THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2013 – 2014
MÔN TOÁN - KHỐI 10
Câu
ý
Nội dung
Điểm
1
1a
Hàm số xác định khi :
0.25
Với đk (1) và (2) ta được: 
0.5
Với đk(3) thực hiện phép nhân liên hợp ta được:
0.5
0.5
Kết hợp các điều kiện ta có tập xác định của hàm số là:
0.25
1b
Vì 
0.25
0.25
Hàm số xác định khi:
1.25
Vậy TXĐ : 
0.25
2
2a
ĐK: 
0.25
Đặt :
1.0
0.25
2b
ĐK:
Biến đổi phương trình thứ nhất ta được:
Phương trình thứ hai của hệ tương đương với :
Ta được hệ mới là:
0.25
0.25
0.25
1.25
3
3a
Đk:
0.25
0.5
0.25
3b
Theo định lí Viét ta có:
0.5
1.0
0.5
0.5
0.5
4
4a
Phương trình (P) có đỉnh A(1; -2) là (P):
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:
Với phương trình (2)có hai nghiệm phân biệt lần lượt là hoành độ giao điểm M, N của (d) và (P).
Từ (2) suy ra:
Vậy: 
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
4b
Ta có: BPT thứ nhất tương đương 
Hệ có nghiệm khi và chỉ khi: GTNN của f(x) trên D 
Hoành độ (P) là 
TH1: 
TH2: 
TH3: 
Vậy 
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
5
5a
Ta có:
Vì I là trung điểm của AC và BD nên ta có:
Mà
 (CH là chiều cao)
Vậy:hoặc 
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
5b
Do
Do vậy: 
Mặt khác ta chứng minh được:
Từ (1) và (2) suy ra:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
Trong tam giác ABC luôn có:
Nên 
Theo BĐT côsi suy ra:
 suy ra ĐPCM.
Dấu bằng xảy ra khi ABC là tam giác đều và M là tâm của tam giác.
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
Chú ý: Nếu HS làm cách khác không theo đáp án mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa