Đề thi học sinh giỏi cấp trường THPT Lê Quý Đôn môn Toán- Khối 11-vòng 2

Trường THPT Lê Quý Đôn
----------o0o----------
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG 
MÔN TOÁN- KHỐI 11-VÒNG 2
Năm học 2013-2014
Thời gian làm bài: 60 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2,5 điểm). Giải hệ phương trình : 
Câu 2 (2,0 điểm). Cho tam giác vuông cân tại , cạnh . Trong mặt phẳng chứa tam giác lấy điểm thỏa mãn . Tìm quỹ tích của điểm M.
Câu 3 (2,5 điểm). Cho ba số dương a, b c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng: 
Câu 4 (3,0 điểm). Cho dãy số xác định bởi và .
Xác định số hạng tổng quát của dãy số .
Tính tổng .
-------------------------HẾT------------------------
Họ và tên học sinh:..... SBD:....
	HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG KHỐI 11- VÒNG 2
Câu/ điểm
NỘI DUNG CẦN ĐẠT
Điểm
Câu 1(2,5đ)
Nếu x=0 thì (1) => y=0, (2)=> z=0. Thay vào (3) thỏa mãn. 
0,5
Nếu x¹0 thì (1)=> y>0, (2)=> z>0, (3)=> x>0.
0,25
Ta có 2x2 = y(1 + x2) ³ 2xy (BĐT cosi)Û x ³ y
3y3 = z(y4 + y2 +1) ³ z.3y2 Û y ³ z (vì y4 + y2 + 1 ³ 3y2)
4z4 = x(z6 + z4 + z2 +1) ³ x.4z3 Û z ³ x (vì z6 + z4 + z2 + 1 ³ 4z3)
=> x ³ y ³ z ³ x Û x = y = z
1,5
Khi đó thay vào hệ ta được: x = y = z = 1. Hệ có 2 nghiệm: (0;0;0), (1;1;1)
0,25
Câu 2(2đ)
Chọn hệ trục tọa độ sao cho , tia qua A và tia qua C. Vì , vuông cân tại B, nên ta có:, . Giả sử .
0,5
. Đây là pt của đường tròn tâm , .
1,0
Vậy quỹ tích điểm M là một đường tròn tâm , bán kính .
0,5
Câu 3(2,5đ)
0,5
0,5
0,5
Tương tự: 
0,5
Vậy: 
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
0,5
Câu 4a
(1,75đ)
Dễ thấy . Có .
0,25
Đặt thì có: . 
0,5
Đặt , ta có: . Suy ra là cấp số nhân với , ccông bội q= 3.
0,5
Suy ra .
0,5
Câu 4b
(1,25đ)
Ta có 
0,5
0,25
0,25
0,25