Đề thi học sinh giỏi Đồng bằng sông Cửu Long lần thứ XV (Đồng Tháp) môn: Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP - ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI HỌC SINH GIỎI ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG LẦN THỨ XV
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 05 tháng 01 năm 2008
(Thí sinh không được sử dụng các loại máy tính bỏ túi)
Bài 1: Giải hệ phương trình:
Bài 2: Gọi là giao điểm của hai đường chéo của tứ giác lồi . Đường phân giác của góc cắt tia tại.
Giả sử 
Chứng minh rằng góc = góc .
Bài 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
Bài 4: Cho là một đa thức với hệ số hữu tỉ, là số thực sao cho:
Chứng minh rằng: 
Trong đó: với mọi số tự nhiên 
Bài 5: Có bao nhiêu cách sắp xếp người gồm nam ( nhóm nam) và nữ ( nhóm nữ) ngồi vào một hàng ghế sao cho: nam ngồi kề nhau, nữ ngồi kề nhau và giữa hai nhóm này có ít nhất một ghế bỏ trống.
Bài 6: Giả sử là các số dương thỏa mãn điều kiện .
Chứng minh rằng:
Bài 7: Trong mặt phẳng cho đường tròn () và một điểm cố định, là điểm di động trên (), đường tròn tâm luôn đi qua . Chứng minh rằng trục đẳng phương của hai đường tròn () và () luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.