Đề thi học sinh giỏi Đồng bằng sông Cửu Long năm học 2005 - 2006 (Cần Thơ) môn: Toán - Đề 1

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO CẦN THƠ
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG
KỲ THI HSG ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG
NĂM HỌC : 2005 – 2006
***********
ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN TOÁN
Thời gian làm bài : 180 phút.
Bài 1.(Đại số – 4 điểm)
 Cho hai đa thức P(x)= xn + a1xn-1 + a2xn-2 + + an-1x + an, với 
 và Q(x) = x2006 – 2007x2005 – 2006. Chứng minh rằng P(x) không chia hết cho Q(x).
Bài 2.(Lượng giác – 4 điểm)
 Tam giác nhọn ABC thỏa hệ thức:
 Chứng minh tam giác ABC đều.
Bài 3.(Giải tích – 4 điểm)
 Dãy số (an) được xác định bởi:
 Chứng minh dãy (an) hội tụ và tìm .
Bài 4.(Hình học phẳng – 4 điểm)
 Cho tam giác nhọn ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC và H là hình chiếu của C 
 trên cạnh AB. Đường thẳng vuông góc với đường phân giác góc cắt AB kéo dài tại P. Cho 
 biết AC + BC = 2HP và = 30o. Tính số đo các góc của tam giác ABC.
Bài 5.(Hình học không gian – 4 điểm)
 Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo bán kính r của mặt cầu nội tiếp tứ diện ấy biết rằng tam
 giác ABC đều và các bán kính Ra, Rb, Rc, Rd của các mặt cầu bàng tiếp tứ diện theo thứ tự thuộc
 các góc tam diện đỉnh A, B, C, D thỏa hệ thức: . 
 ---------------------------HẾT-----------------------------
SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO CẦN THƠ
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG
KỲ THI HSG ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG
NĂM HỌC : 2005 – 2006
***********
ĐÁP ÁN MÔN TOÁN
Bài 1.(Đại số – 4 điểm)
 Cho hai đa thức P(x)= xn + a1xn-1 + a2xn-2 + + an-1x + an, với
 và Q(x) = x2006 – 2007x2005 – 2006. Chứng minh rằng P(x) không chia hết cho Q(x).
Đáp án: 
 Trước hết ta chứng minh nếu đa thức f(x)= aoxn+a1xn-1++an (ao¹ 0) có nghiệm xo thì :
	Thật vậy:
	+ Nếu thì hiển nhiên (0,5 đ)
	+ Nếu thì 
	 (1,5đ)
	Aùp dụng vào bài toán đã cho ta có: nếu xo là nghiệm của P(x) thì (0,5đ)
	Mặt khác : có Q(2007).Q(2008) < 0 nên Q(x) có nghiệm xỴ(2007;2008) (1đ)
	Vậy P(x) không chia hết cho Q(x) (đpcm) (0,5đ)
Bài 2.(Lượng giác – 4 điểm)
 Tam giác nhọn ABC thỏa hệ thức:
 Chứng minh tam giác ABC đều.
Đáp án: 
 Trong mọi tam giác nhọn ta luôn có : tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC 
	 (1) (1đ)
 Đặt thì từ (1) ta có: x + y + z = 1 (2) 
 Mặt khác: 	
 Tương tự: và 	 
 Giả thiết bài toán trở thành (1đ)
 Theo bất đẳng thức Cauchy:
 (1đ)
 Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
 Khi đó tgA = tgB = tgC hay DABC đều (đpcm). (1đ) 
Bài 3.(Giải tích – 4 điểm)
 Dãy số (an) được xác định bởi:
 Chứng minh dãy (an) hội tụ và tìm .
Đáp án:
 + Nhận thấy là một nghiệm của phương trình: . Ta c/m dãy (an) hội tụ về 
 Thật vậy:
 + Từ cách cho dãy ta có (1) (1đ)
 + Xét hàm số với ta có:
 (1đ) 
 + Mặt khác với hàm số liên tục trên các đoạn và có đạo 
 hàm trong các khoảng , nên tồn tại sao cho:
 (3)
 Do (1) và (2) nên từ (3) ta suy ra (4) (1đ)
 + Với cách cho dãy ta lại có (5)
 + Từ (4) và (5) suy ra 
 + Vì nên
 Vậy dãy (an) hội tụ và có giới hạn bằng (1đ)
Bài 4.(Hình học phẳng – 4 điểm)
 Cho tam giác nhọn ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC và H là hình chiếu của C 
 trên cạnh AB. Đường thẳng vuông góc với đường phân giác góc cắt AB kéo dài tại P. Cho 
 biết AC + BC = 2HP và = 30o. Tính số đo các góc của tam giác ABC.
Đáp án: Có hai trường hợp
P
A
K
N
M
H
C
B
j
	+Trường hợp 1: M ở giữa H và P
	 Đặt và kéo dài HN một đoạn NK=MN 
	 Khi đó ta có : HN = NA = NC = 
	 NK = MN = 
	 Vậy tam giác HKP cân tại H
	 (1đ)
	 Từ gt ta có PN là phân giác Þ DPNM = DPNK (c.g.c) Þ 
	 Mà 
	 và 
	 ÞDMAN cân ÞDABC cân và (1đ)
B
A
C
K
H
M
N
P
j
	+ Trường hợp 2: H ở giữa M và P
	 Lập luận tương tự ta có :
 (1,5đ)
 ÞDMAN cân tại A ÞDABC cân tại A và (0,5đ)
Bài 5.(Hình học không gian – 4 điểm)
 Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo bán kính r của mặt cầu nội tiếp tứ diện ấy biết rằng tam 
 giác ABC đều và các bán kính Ra, Rb, Rc, Rd của các mặt cầu bàng tiếp tứ diện theo thứ tự thuộc 
 các góc tam diện đỉnh A, B, C, D thỏa hệ thức: .
A
B
C
D
Oa
Đáp án:
 Gọi: V là thể tích khối tứ diện ABCD; Sa, Sb, Sc, Sd lần lượt là diện tích
 các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC và Oa là tâm của mặt cầu bàng tiếp
 tứ diện thuộc góc tam diện đỉnh A.
 Ta có:
 Tương tự: (1đ)
 Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta được:
 (1đ)
 Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy:
 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Ra = Rb = Rc = Rd = 2r Û Sa = Sb = Sc = Sd hay tứ diện 
 ABCD là một tứ diện gần đều. (1đ)
 Kết hợp với giả thiết tam giác ABC đều ta được tứ diện ABCD là một tứ diện đều. Từ đó: 
 (đvtt) (1đ)