Đề thi học sinh giỏi Đồng bằng sông Cửu Long năm học 2005 - 2006 (Hậu Giang) môn: Toán

SÔÛ GIAÙO DUÏC ÑAØO TAÏO HAÄU GIANG
ÑEÀ THI ÑBSCL MOÂN TOAÙN
BAØI 1 (soá hoïc )
Cho . Chöùng minh raèng :
Neáu 24a2 + 1 = b2 thì moät vaø chæ moät trong caùc soá a vaø b chia heát cho 5.
BAØI 2 (Ñaïi soá)
Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá :
f(x) = 20x144 – 1.x120 + 2006, "xÎIR.
BAØI 3 (Hình hoïc phaúng)
Cho tam giaùc ABC. Treân caïnh AB laáy ñieåm M di ñoäng, treân caïnh AC laáy ñieåm N di ñoäng sao cho
 (khoâng ñoåi).
Chöùng minh raèng ñöôøng thaúng MN ñi qua moät ñieåm coá ñònh.
BAØI 4 (Hình hoïc khoâng gian)
Trong maët phaúng (P) cho tam giaùc ABC nhoïn. Treân ñöôøng thaúng d vuoâng goùc vôùi maët phaúng (P) taïi A laáy ñieåm S di ñoäng, goïi K vaø H laàn löôït laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa B leân AC vaø SC, ñöôøng thaúng l ñi qua K vaø H caét ñöôøng thaúng d taïi N. Ñònh ñieåm S treân d sao cho ñoaïn SN ngaén nhaát.
BAØI 5 (daõy soá)
Cho daõy vaø 
Trong ñoù : f(n) = (n2 + n + 1)2 + 1
Chöùng minh raèng : 
ÑAÙP AÙN
Baøi 1 :
Neáu , 
khi ñoù töø ñaúng thöùc : 24a2 + 1 = b2 ó 1 = b2 - 24a2 chia heát cho 5 => 1 chia heát cho 5, voâ lyù.
Neáu 
Khi ñoù : 	a4 º 1 (mod 5) (Ñònh lyù Fermat)
b4 º 1 (mod 5)
=> a4 - b4  º 0 (mod 5)
- Xeùt a2 + b2 º 0 (mod 5)
Töø ñaúng thöùc voâ lyù.
- Xeùt a2 - b2 º 0 (mod 5)
Töø ñaúng thöùc 
, voâ lyù.
(Vì do (a,5)=1 => a º ± 1 ; ± 2 (mod 5)
a2 º 1 ; 4 (mod 5) => 23a2 + 1 º 3 hoaëc 4 (mod 5)
Vaäy Neáu a,b Î Z thoûa ñaúng thöùc 24a2 + 1 = b2 thì moät vaø chæ moät trong caùc soá a vaø b seõ chia heát cho 5.
BAØI 2 
f(x) 	= 20x144 – 1.x120 + 2006
 10 soá haïng
 12 soá haïng
 (Cosi)
BAØI 3 :
Keû ñöôøng phaân giaùc trong cuûa BAÂC laø At. Do A,B,C coá ñònh => At coá ñònh.
Goïi I laø giao ñieåm cuûa At vôùi MN.
Ta coù : SDAMN = SDAMI + SDANI
 (khoâng ñoåi)
 (khoâng ñoåi)
=> I coá ñònh vaø I Î MN
Vaäy ñöôøng thaúng MN qua 1 ñieåûm coá ñònh I.
BAØI 4 :
Trong DSCN coù AC laø ñöôøng cao thöù nhaát.
Maët khaùc ta coù : 
 laø ñöôøng cao thöù hai
=> K laø tröïc taâm cuûa DSCN.
Ta coù (khoâng ñoåi)
Vì 	 (khoâng ñoåi)
Vaäy ñieåm S naèm treân d (coá ñònh) caùch A (coá ñònh) baèng :
BAØI 5 : Ta coù :
Khi ñoù :
-----------------------