Đề thi học sinh giỏi Đồng bằng sông Cửu Long năm học 2005 - 2006 (Kiên Giang) môn: Toán 12

SÔÛ GIAÙO DUÏC & ÑAØO TAÏO KIEÂN GIANG
Tröôøng THPT Chuyeân Huyønh Maãn Ñaït
KYØ THI HOÏC SINH GIOÛI KHU VÖÏC ÑBSCL NAÊM HOÏC 2005_2006
ÑEÀ THI ÑEÀ NGHÒ MOÂN : TOAÙN
( Thôøi gian: 180 phuùt )
BAØI 1: (4 ñieåm)
Cho 6 soá thöïc a, b, c, m, n, p thoûa maõn : a2 + b2 + c2 = 1 vaø m + n + p = 5.
Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa : A = a.m + b.n + c.p + m.n + n.p + p.m
BAØI 2: (4 ñieåm)
Giaûi phöông trình nghieäm nguyeân sau : 2x + 3y = z2
BAØI 3: (4 ñieåm)
Cho daõy soá . Tìm 
BAØI 4: (4 ñieåm)
Cho ñöôøng thaúng (d) vaø hai ñieåm A, B khoâng thuoäc (d); AB khoâng vuoâng goùc vôùi (d). Baèng thöôùc vaø compa haõy döïng M naèm treân (d) sao cho:
 a. ñaït giaù trò nhoû nhaát 	 b. ñaït giaù trò lôùn nhaát
BAØI 5: (4 ñieåm)
Cho hình laäp phöông ABCD.A’B’C’D’ caïnh a. Goïi I laø taâm cuûa maët BCC’B’ vaø laø ñöôøng thaúng qua D vaø I. Ñoaïn MN thay ñoåi coù trung ñieåm K luoân thuoäc ñöôøng thaúng , M. Tìm giaù trò beù nhaát cuûa ñoaïn MN.
HEÁT
SÔÛ GIAÙO DUÏC & ÑAØO TAÏO KIEÂN GIANG
Tröôøng THPT Chuyeân Huyønh Maãn Ñaït
KYØ THI HOÏC SINH GIOÛI KHU VÖÏC ÑBSCL NAÊM HOÏC 2005_2006
ÑAÙP AÙN ÑEÀ THI ÑEÀ NGHÒ MOÂN : TOAÙN 
BAØI 1:
Cho 6 soá thöïc a, b, c, m, n, p thoûa maõn : a2 + b2 + c2 = 1 vaø m + n + p = 5.
Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa : A = a.m + b.n + c.p + m.n + n.p + p.m
P
I
0
H
N
M
Caùch 1: 
Trong khoâng gian Oxyz , xeùt maët caàu (C) taâm O baùn kính R = 1: x2+ y2 + z2 = 1 vaø maët phaúng 
(P): x + y +z – 5= 0 ( (P) khoâng caét ( C )
Xeùt M(a ; b ; c) vaø N(m ; n ; p). Töø giaû thieát ta coù M(C) , N . (0.5ñ)
 (0.5ñ)
Neân (0.25ñ)
Qua O döïng ñöôøng thaúng (d) vuoâng goùc vôùi (P). Ñöôøng thaúng naøy caét maët caàu taïi I,J caét (P) taïi H (I naèm giöõa O vaø H). Deã thaáy: I () vaø H () . (0.5ñ)
	Ta coù MN IH = OH – OI = dO/(P) – 1 = . (0.5ñ)
 Suy ra (0.5ñ)
2A 26 - = A (0.5ñ)
	Daáu “=” ñaït ñöôïc khi hay (0.5ñ)
	Vaäy Max A = (0.25ñ)
Caùch 2: 
	Aùp duïng BÑT Bunhiacopxki ta coù : 
	a.m + b.n + c.p 
 A = a.m + b.n + c.p + m.n + m.p + n.p m.n + m.p + n.p + 
	Ñaët : m.n + n.p + p.m = t.
	Ta coù : m.n + m.p + n.p = hay t 
	 m2 + n2 + p2 = (m + n + p)2 – 2(m.n + n.p + p.m) = 25 – 2t
	Vaäy A = f(t)
Ta coù :	f’(t) = 1 - . Suy ra f(t) laø haøm taêng treân 
 A 
	Daáu “=” xaûy ra khi . Vaäy Max A = 
Caùch 3: 
Ta coù 2A=2(am+bn+cp) + 2mn +2 np +2 pm = 2 ( am+bn+cp)+m(n+p)+n(m+p)+p(n+m)
= 2 ( am+bn+cp)+m(5-m)+n(5-n)+p(5-p) = 2 ( am+bn+cp) + 5.5 – ( m2 +n2 +p2) . 
Do ñoù 2A = 2 ( am+bn+cp) + 25 - ( m2 +n2 +p2) . (1 )
Maët khaùc Theo baát ñaúng thöùc BCS ta coù :
	 ( am+bn+cp) 
Thay vaøo ( 1 ) : (2 )
 daáu “=” xaåy ra khi 	(*).
Ñaët thì theo BCS ta coù . Daáu baèng xaåy ra khi m=n=p (**). Thay vaøo (2) ta ñöôïc :
 (3 )
Xeùt haøm treân ta coù f(t) luoân giaûm 
vaäy f(t)£.
Thay vaøo (3) suy ra 
Daáu baèng xaåy ra khi (***).
Keát hôïp (*) , (**) , (***) ta coù daáu baèng xaåy ra khi vaø m=n=p = .
Vaäy Max A = khi vaø m=n=p = .
Caùch 4:
Khoâng maát tính toång quaùt giaø söû : vaø . Theo baát ñaúng thöùc treâböseùp ta coù :
	 ( 1) . 
Maø theo BCS ta coù . Thay vaøo (1) ta coù ( 2 ) 
Maët khaùc ta coù : ( 3)
Deã thaáy . Thay vaøo (3) ta coù :
 ( 4) 
Töø (2 ) vaø ( 4 ) Ta coù . Daáu baèng xaåy ra khi vaø chæ khi vaø . Vaäy Max A = .
BAØI 2: (4 ñieåm)
Giaûi phöông trình nghieäm nguyeân sau : 2x + 3y = z2 (1)
LÔØI GIAÛI:
+ vaø x, y khoâng ñoàng thôøi baèng 0. 
+ neáu (x0 ; y0 ; z0) laø moät nghieäm cuûa (1) thì (x0 ; y0; - z0) cuõng laø moät nghieäm cuûa (1). Do ñoù ta chæ caàn giaûi (1) vôùi ñieàu kieän z > 0. (0.25ñ)
* Neáu x = 0, khi ñoù y1	
 (1) 1 + 3y = z2 3y = (z – 1).(z + 1) (2) (0.25ñ)
 Ta coù maø 3y laø soá leû neân UCLN[(z – 1) , (z + 1)] = 1 (0.25ñ)
Vaäy (2) (0.5ñ)
* Neáu y = 0, khi ñoù x1
 (1) 2x + 1 = z2 2x = (z – 1).(z + 1) (0.25ñ)
 Maët khaùc (z – 1), (z + 1) laø hai soá nguyeân cuøng tính chaün leû
 vaø neân : (0.25ñ)
 (3) (0.5ñ)
* Caû hai soá x, y , khi ñoù töø (1) suy ra: (z ; 2) = (z ; 3) = 1 
 Töø (1) suy ra : (0.25ñ)
 Luùc naøy (1) trôû thaønh : 4k + 3y = z2 . Suy ra : (0.25ñ)
 (1) 4k + 9q = z2 9q = z2 – 4k 9q = (z – 2k)(z + 2k) (4)
 Vì (z ; 2) = 1 neân ((z – 2k) ; (z + 2k)) = 1. Töø ñieàu naøy ta coù :
 (4) (0.5ñ)
 Ta coù (*)2.2k = (3q – 1).(3q + 1) (**)
 Ta cuõng coù : ((3q – 1) ; (3q + 1)) = 2 
 neân (**) (0.5ñ)
Vaäy (1) coù caùc nghieäm nguyeân : (0.25ñ) 
BAØI 3: (4 ñieåm)
Cho daõy soá . Tìm 
Caùch 1:
+Töø giaû thieát ta coù : (0.25ñ)
+Ta coù : 
=
 (0.5ñ) 
+Döï ñoaùn : = (0.25ñ)
+Chöùng minh quy naïp :
	@ n=1 , meänh ñeà ñuùng (0.25ñ)
@ Giaû söû meänh ñeà ñuùng vôùi n=k . Ta coù : = (0.25ñ) 
@ Caàn chöùng minh meänh ñeà ñuùng vôùi n=k+1.
Thaät vaäy, ==
 (0.5d)
 == (0.5ñ)
+ Vaäy ta coù : = maø =0 ( do m>0) (0.5ñ)
Neân =0 (0.25ñ) . 
	Ñaët (0.25ñ)
maø yn=0 => xn=2006 (0.5d)
Caùch 2:
Nhaän xeùt vì x0 > 0 vaø (*) neân xn> 0 . Vaäy (xn) laø daõy bò chaën döôùi.(1)
Xeùt . Ta coù : .
Xeùt . Ta coù vì .
Vaäy . Ta coù : (xn) laø daõy giaûm.(2)
Töø (1) vaø (2) daõy soá coù giôùi haïn. Goïi xn =y , y0 vì xn luoân döông , laáy giôùi haïn hai veá cuûa (*)ta coù :
J
I
O
A
B
M
* Goïi O laø giao ñieåm cuûa (d) vaø ñöôøng thaúng trung tröïc cuûa AB (vì (d) khoâng vuoâng goùc vôùi AB neân O toàn taïi). Döïng ñöôøng troøn taâm O, baùn kính OA. Ñöôøng troøn naøy caét (d) taïi I vaø J. 
	Khoâng maát toång quaùt giaû söû : ( (1) ). Ta seõ chöùng minh : (0.5ñ)
BAØI 4: (4 ñieåm)
Ñaët (0.25ñ)
Ñaët . Khi ñoù : . Töông töï : (0.25ñ)
Ta coù:
AM2 = ()2=
 (Vì AI AJ do ñoù =0) (0.5ñ)
Töông töï : BM2 = 
(*) (0.5ñ)
Ta coù ù
 (ñuùng do (1))
Vaäy (*) ñuùng hay . Daáu “=” xaûy ra khi (0.75ñ)
Ta coù:
* MI
* keát hôïp vôùi IA2 + JA2 = IJ2 = IB2+ JB2 suy ra IA = IB vaø JA = JB (voâ lyù vì luùc naøy (d) laø trung tröïc cuûa AB) (0.5ñ)
Vaäy ñaït giaù trò lôùn nhaát khi MI.
J
I
A
B
K
L
Töông töï ñaït giaù trò nhoû nhaát khi MJ. (0.25ñ)
* Döïng I, J: + Döïng BL(d) , AK(d)
 + I laø giao ñieåm cuûa ñöôøng troøn taâm O, baùn kính OA vôùi (d) 
 sao cho L naèm giöõa I vaø K; J laø giao ñieåm coøn laïi.
() (0.5ñ)
BAØI 5: (4 ñieåm)
Cho hình laäp phöông ABCD.A’B’C’D’ caïnh a. Goïi I laø taâm cuûa maët BCC’B’ vaø laø ñöôøng thaúng qua D vaø I. Ñoaïn MN thay ñoåi coù trung ñieåm K luoân thuoäc ñöôøng thaúng , M. Tìm giaù trò beù nhaát cuûa ñoaïn MN.
LÔØI GIAÛI:
* Goïi M’ laø hình chieáu cuûa M leân B’C’ vuoâng taïi M’ M’K = (0.5ñ) 
 Neân MN beù nhaát M’K beù nhaát M’K laø ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa vaø B’C’.
 (0.75ñ)
* Goïi J = DIA’B’ B’C’ // (JAD) ( vì B’C’ // AD)
 Do ñoù khoaûng caùch giöõa B’C’ vaø chính laø khoaûng caùch giöõa B’C’ vaø(JAD) (0.5ñ) 
 Goïi P = JABB’
 Ta coù (PB’J) (JAD) theo giao tuyeán PJ. 
 Goïi H laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa B’ leân PJ B’H (JAD)
B’H laøø khoaûng caùch giöõa B’C’ vaø(JAD) (0.5ñ)
* Maët khaùc: do B’I laø ñöôøng trung bình trong B’ laø trung ñieåm A’J vaøB’P laø ñöôøng trung bình trong B’J= a vaø B’P = (0.75ñ)
* Trong vuoâng taïi B’ ta coù: 
 M’K = B’H = (0.5ñ)
Vaäy giaù trò beù nhaát cuûa MN = (0.5ñ)
HEÁT