Đề thi học sinh giỏi Đồng bằng sông Cửu Long năm học 2005 - 2006 (Long An) môn: Toán 12

 SỞ GIÁO DỤC–ĐÀO TẠO LONG AN	KỲ THI HỌC SINH GIỎI 
 TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN	ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG
	NĂM HỌC : 2005 – 2006
	 ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN TOÁN
	 Thời gian : 180 phút
___________________________________________________________________________
Bài 1 : (Đại số)
	Cho các số thực x, y thỏa phương trình x(x-1) + y(y-1) = xy
	Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức x2 + y2 + xy.
Bài 2 : (Lượng giác)
	Cho ABC là tam giác có ba góc nhọn . Chứng minh rằng :
Bài 3 : (Giải tích)
	Dãy số được xác định như sau :
	 ( n = 1, 2, 3, .).
	Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn khi n và tìm giới hạn của nó.
Bài 4 : (Hình học phẳng)
	Cho tam giác ABC và M là trung điểm của BC , một đường tròn bất kì qua A cắt các tia 	AB, AC, AM theo thứ tự tại E, F, K. Chứng minh rằng :
	AB.AE + AC.AF = 2AK.AM
Bài 5 : (Hình học không gian)
	Cho tứ diện ABCD có . Chứng minh rằng :
	 trong đó R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
	( Kí hiệu là góc BAC )
 SỞ GIÁO DỤC–ĐÀO TẠO LONG AN 	KỲ THI HỌC SINH GIỎI 
 TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN	ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG
	Năm học : 2005 – 2006
ĐÁP ÁN MÔN TOÁN
Bài 1 : (Đại số)
	Cho các số thực x, y thỏa phương trình x(x-1) + y(y-1) = xy
	Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức x2 + y2 + xy.
--------------------
	Đặt a = x2 + y2 + xy . Từ điều kiện của x, y ta suy ra: x + y + 2xy = a ( 0,5 điểm)
Gọi a là một giá trị của biểu thức x2 + y2 + xy thì hệ pt: phải có nghiệm.
	 ( 0,5 điểm)
Đặt: S = x+ y, P = xy (S2 4P) , hệ phương trình trở thành :	( 0,5 điểm)
	 ( 0,5 điểm)
Hệ pt có nghiệmkhi và chỉ khi phương trình :
	 f(P) = 4P2 -(4a+1)P+a2-a= 0 có nghiệm thỏa P ( 0,5 điểm)
Điều này tương đương với :	 	( 0,5 điểm)
	 	( 0,5 điểm)
	 	( 0,5 điểm)
	Kết luận : Max (x2 + y2 + xy ) = 12 và Min (x2 + y2 + xy ) = 0
Bài 2 : (Lượng giác)
	Cho ABC là tam giác có ba góc nhọn . Chứng minh rằng :
----------------------------------
	Do tam giác ABC nhọn nên tgA > 0 ,tgB > 0 , tgC > 0. Viết lại bất đẳng thức :
	( 0,5 điểm )
Aùp dụng bất đẳng thức Côsi :
	( 0,5 điểm )
	( 0,5 điểm )
Suy ra : 
	( 0,5 điểm )
	( 0,5 điểm )
Mặt khác : , vì bất đẳng thức này tương đương với:
 cotg2A+cotg2B+cotg2C +2(cotgA.cotgB+cotgB.cotgC+cotgC.cotgA)3 ( 0,5 điểm )
	. 	 ( 0,5 điểm )
Từ đó suy ra :
	( 0,5 điểm )
Bài 3 : (Giải tích)
	Dãy số được xác định như sau :
	 ( n = 1, 2, 3, .).
	Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn khi n và tìm giới hạn của nó.
-----------------------------------------------------
Từ cách xác định dăy số, suy ra 
Giả sử dãy có giới hạn là a thì a là nghiệm của phương trình : 	(0,5 điểm)
Đặt : , phương trình (1) trở thành :
	(0,5 điểm)
Đặt : , ta được phương trình : 
	(0,5 điểm)
Suy ra : .Vậy : 
	(0,5 điểm)
Xét hàm số có 
	(0,5 điểm)
Aùp dụng định lí Lagrange :
 với c nằmgiữa xn và a.
Vì . Do đó : 	0,5 điểm)
Suy ra : , và do 	0,5 điểm)
Do đó : 	(0,5 điểm)
Bài 4 : (Hình học phẳng)
	Cho tam giác ABC và M là trung điểm của BC , một đường tròn bất kì qua A cắt các tia 	AB, AC, AM theo thứ tự tại E, F, K. Chứng minh rằng :
	AB.AE + AC.AF = 2AK.AM
A
--------------------------------------------------------------------
	Gọi AD là đường kính của đường tròn thì :
	 (0,5 điểm)
F
E
	Ta có : (0,5 điểm)
K
	 (0,5 điểm)
C
M
B
	 (0,5 điểm)
	 (0,5 điểm)
	(Công thức chiếu)
	 (0,5 điểm)
	 (0,5 điểm)
	 (0,5 điểm)
Bài 5 : (Hình học không gian)
	Cho tứ diện ABCD có . Chứng minh rằng :
	 trong đó R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
	( Kí hiệu là góc BAC )
-------------------------------------------------------------------------------
	Gọi G là trọng tâm và O là tâm mặt cầu ngoại tếp tứ diện ABCD thì :
	( 0,5 điểm )
(0,5đ) 
	( 0,5 điểm )
Mặt khác : 	
	( Định lí hàm số cosin )	
	 ( 0,5 điểm )
	( 0,5 điểm )
	(0,5 điểm)
( Vì 
	(0,5 điểm)
	(0,5 điểm)