Đề thi học sinh giỏi Đồng bằng sông Cửu Long năm học 2008 - 2009 (Long An) môn: Toán 12

SỞ GIÁO DỤC–ĐT LONG AN KỲ THI HỌC SINH GIỎI ĐỒNG BẰNG
TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN SÔNG CỬU LONG NH 2008-2009
ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN TOÁN
--------------------------------------------------------------------------
Câu1 : (3 điểm)
Giải phương trình:
Câu 2 : (3 điểm)
Trên đường tròn tâm O, bán kính R lấy sáu điểm D, E, F, G, H, K theo thứ tự đó sao cho
 DE = FG = HK = R. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của EF, GH và KD.
	Chứng minh rằng tam giác MNP là tam giác đều.
Câu3 : (2 điểm)
Giải phương trình sau trong tập hợp các số nguyên dương :
Câu 4 : (3 điểm)
Cho dãy số xác định như sau : , (n = 0,1, 2,)
	Chứng minh rằng dãy sốcó giới hạn hữu hạn khi và tìm giới hạn của nó.
Câu 5 : (3 điểm)
	Cho đa giác đều A1 A2 A3  A6n (n nguyên dương) nội tiếp trong đường tròn bán kính R.
Xét các đa giác lồi có các đỉnh là các điểm trong 6n điểm A1, A2,  , A6n và các cạnh 
 của đa giác đều khác R. Biết rằng trong số các đa giác ấy số các đa giác với số cạnh lớn 
 nhất bằng 32768, hãy tìm n.
Câu 6 : (3 điểm)
 Tìm tất cả các hàm số liên tục thỏa mãn điều kiện:
Câu 7 : (3 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy, cho elip (E): và đường thẳng (): x + 2y – 4 = 0. Xét điểm M chuyển động trên . Các tiếp tuyến của (E) kẻ từ M tiếp xúc với (E) tại A và B. Chứng minh rằng khi M chuyển động trên thì đường thẳng AB luôn qua một điểm cố định. Xác định điểm cố định ấy. 
SỞ GIÁO DỤC–ĐT LONG AN KỲ THI HỌC SINH GIỎI ĐỒNG BẰNG
TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN SÔNG CỬU LONG NH 2008-2009
ĐÁP ÁN MÔN TOÁN
--------------------------------------------------------------------------------------------
Câu1 : (3 điểm)
 Giải phương trình: 
Giải:
	Đặt f(t) = 2t3 + 3t2 -18 và g(t) = t3 + t thì hệ phương trình được viết lại: 	
	Giả sử x = max(x, y, z) thì (do hàm số g đồng biến ) (1điểm)
	 (1 điểm)
	Từ đó suy ra: . Thế vào hệ phương trình ta được(0,5 điểm)
	Thử lại ta thấy: x = y = z = 2 thoả hệ phương trình. 	 (0,5 điểm) 
	Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất x = y = z = 2
Câu 2 : (3 điểm)
Trên đường tròn tâm O, bán kính R lấy sáu điểm D, E, F, G, H, K theo thứ tự đó sao cho
 DE = FG = HK = R. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của EF, GH và KD.
	Chứng minh rằng tam giác MNP là tam giác đều.
Giải:
	Đặt: thì: 
.
Do , nên điểm O thuộc miền trong của lục giác
 DEFGHK. Từ đó suy ra: . (0,5 điểm)
Áp dụng định lý hàm số cosin, ta được: 
 (1 điểm)
Suy ra:
 = (1 điểm)
Do đó PM = NP và chứng minh tương tự ta được NP = MN. 
Vì vậy tam giác MNP là tam giác đều. (0,5 điểm) 
Câu3 : (2 điểm)
	 Giải phương trình sau trong tập hợp các số nguyên dương :
Giải:
Từ phương trình, ta suy ra : x > 2009 và y > 2009 
 (1) 
 	 (*) (0,5điểm)
Nếu 41x không là số chính phương thì là số vô tỉ. Khi đó (*) không thỏa. Do đó 41x là số chínhphương, suy ra x = 41a2, với aN*
Tương tư : y = 41b2, với bN*. (0,5điểm)
 Phương trình (1) trở thành: (2)
Từ phương trình (2), ta suy ra: a,b > 7. Đặt : a = 7+m và b = 7+n với m,nN*
Phươnh trình (2) được viết lại: (3)
	 	(3) 7(14+m+n) = (7+m).(7+n)
	 	 m.n = 72 (0,5điểm)
Suy ra:
	m = 1 , n = 72 a = 8 , b = 56 x = 2624 , y = 128576
	m = 7 , n = 7 a = 14 , b = 14 x = 8036 , y = 8036
	m = 72 , n = 1 a = 56 , b = 8 x = 128576 , y = 2664
	Thử lại, ta được ba nghiệm trên đều thỏa phương trình đã cho. (0,5điểm)
Câu 4 : (3 điểm)
Cho dãy số xác định như sau : , (n = 0,1, 2,)
	Chứng minh rằng dãy sốcó giới hạn hữu hạn khi và tìm giới hạn của nó.
Giải:
•Xét phương trình 
	 (0,5 điểm)
•Xét dãy số được xác định như sau: 
Chứng minh 
	Với n = 0 ta có 
	Giả sử thì 
	Suy ra: (0,5 điểm)
Chứng minh 
 Vậy 
Dãy tăng và bị chặn trên nên có giới hạn hữu hạn. Gọi thì:
	 (0,5 điểm)
•Chứng minh:
	Với n=0 thì 
	Giả sử mệnh đề đúng với n = k, tức là: và . Khi đó:
 Vậy 
Suy ra: (0,5 điểm)
•Xét dãy số được xác định như sau: 
	Chứng minh tương tự ta được dãygiảm và bị chặn dưới bởi nên có giới
 hạn và . 
	Bằng phương pháp tương tự ta có: (0,5 điểm)
	•Từ các kết quả trên, ta có: 
	Vì nên (0,5 điểm)
Câu 5 : (3 điểm)
	Cho đa giác đều A1 A2 A3  A6n (n nguyên dương) nội tiếp trong đường tròn bán kính R.
Xét các đa giác lồi T có các đỉnh là các điểm trong 6n điểm A1, A2,  , A6n và các cạnh 
 của đa giác T đều khác R.
 Biết rằng số các đa giác lồi T với số cạnh lớn nhất là 32768, hãy tìm n.
Giải:
§Ta chia các điểm A1, A2,  , A6n thành n tập hợp như sau:
 (1 điểm)
 Ta nhận thấy:
+Với XBi và YBj, i ≠ j thì độ dài đoạn XY khác R
+Số điểm tối đa có thể chọn ra trong mỗi tập hợp Bi sao cho khoảng cách giữa hai
 điểm bất kỳ trong chúng khác R là 3.
 Vì thế số điểm tối đa có thể chọn ra trong các điểm A1, A2, ,A6n để thành lập đa giác
 với số cạnh lớn nhất là 3n. (1 điểm)
§Bây giờ ta xác định số các tập hợp có 3n phần tử thoả mãn yêu cầu bài toán.
 Do số cách chọn 3 điểm trong mỗi Bi là 2, nên số cách chọn 3n điểm là 2n. 
 Từ đó, ta được: 2n = 32768 (1 điểm)
Câu 6 : (3 điểm)
Tìm tất cả các hàm số liên tục thỏa 
Giải: 
	Cho y = 1 thì: 
	Đặt: thì . (1) thì g liên tục. (0,5 điểm)
Do g là hàm số chẵn nên ta xét trên . 
Với ta xét hai trường hợp: 
	i) 
 	Xét dãy số (xn) như sau: 
	Vì , bằng qui nạp ta được 
	Ta lại có: 
	Từ đó suy ra (xn) tăng và bị chặn trên nên có giới hạn hữu hạn 
Gọi thì Vậy (1 điểm)
Từ đó thế x bởi x0, x1,  ,xn vào phương trình (1) ta được
. (0,5 điểm)
	ii) 
Xét dãy số (xn) xác định như sau :
Sử dụng phương pháp của dãy truy hồi ta được 
Do, nên thế x bởi x0, x1,  ,xn vào phương trình (1) ta được:
. 
. Từ đó suy ra và do hàm số g chẵn nên 
 (0,5 điểm)
Suy ra 
Thử lại hàm số thoả bài toán (0,5 điểm)
Câu 7 : (3 điểm)
	Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): và đường thẳng 
(): x + 2y – 4 = 0.
 Xét điểm M chuyển động trên . Các tiếp tuyến của (E) kẻ từ M tiếp xúc với (E) tại A
 và B.
Chứng minh rằng khi M chuyển động trên thì đường thẳng AB luôn qua một điểm cố 
định. Xác định điểm cố định ấy.
Giải:
	Đặt M(4 – 2m, m) Δ. Phương trình tiếp tuyến của (E) tại A:
	 hay 2xAx + 3yAy – 6 = 0 (1 điểm) 
 Tiếp tuyến này qua M, nên: 2xA(4 – 2m) + 3yA.m – 6 = 0
 Tương tự ta cũng có: 2xB(4 – 2m) + 3yBm – 6 = 0
 Từ đó ta được phương trình đường thẳng AB là: 2(4 – 2m)x + 3my – 6 = 0 (1 điểm)
 Gọi K(xo; yo) là điểm cố định mà đường thẳng AB luôn đi qua thì:
 2(4 – 2m)xo + 3myo – 6 = 0(3yo-4xo)m + 8xo– 6 = 0 
	Vậy đường thẳng AB luôn qua điểm cố định (1 điểm)