Đề thi học sinh giỏi đồng bằng sông Cửu Long năm học 2008 – 2009 môn Toán - Bài 2

 SễÛ GD – ẹT KIEÂN GIANG	 KYỉ THI HOẽC SINH GIOÛI ẹOÀNG BAẩNG SOÂNG CệÛU LONG
TRệễỉNG THPT CHUYEÂN HUYỉNH MAÃN ẹAẽT	 NAấM HOẽC 2008 – 2009
ẹEÀ THI ẹEÀ NGHề MOÂN : TOAÙN
Thụứi gian : 180 phuựt
BAỉI 2: HèNH HOẽC PHAÚNG -3ẹ
Cho hỡnh vuụng cạnh bằng 1. Cú hai tam giỏc đều cạnh lớn hơn nằm bờn trong hỡnh vuụng. Chứng minh rằng hai tam giỏc ấy cú điểm chung.
Ta sẽ chứng minh mọi tam giỏc đều, cạnh lớn hơn nằm trong hỡnh vuụng cú cạnh bằng 1 đều chứa tõm hỡnh vuụng ở bờn trong.
Thật vậy, giả sử tồn tại một tam giỏc đều ABC với cạnh a = nằm bờn trong hỡnh vuụng cạnh 1 mà khụng chứa tõm O của hỡnh vuụng. (0.5)
Khi đú tồn tại một cạnh, chẳng hạn cạnh AB sao cho điểm O và tam giỏc nằm về hai phớa của cạnh AB (xem hỡnh vẽ). 	(0.5)
Vẽ qua O đường thẳng d song song với AB và từ C kẻ CK vuụng gúc với d. 
Gọi H là giao điểm của CK và AB, ta cú CH < CK CO	(1) 	(0.5) 
Vỡ C nằm trong hỡnh vuụng nờn CO (độ dài nửa đường chộo hỡnh vuụng cạnh 1 là ). 
Do CH là đường cao của tam giỏc đều cạnh nờn CH = .	(0.5)
Kết hợp với (1) suy ra < , vụ lý. (1.0)
Vậy mọi tam giỏc đều, cạnh lớn hơn nằm trong hỡnh vuụng cú cạnh bằng 1 đều chứa tõm hỡnh vuụng ở bờn trong. Tức là hai tam giỏc đề bài cho cú điểm chung là tõm của hỡnh vuụng. ■