Đề thi học sinh giỏi đồng bằng sông Cửu Long năm học 2008 – 2009 môn Toán - Bài 6

 SễÛ GD – ẹT KIEÂN GIANG	 KYỉ THI HOẽC SINH GIOÛI ẹOÀNG BAẩNG SOÂNG CệÛU LONG
TRệễỉNG THPT CHUYEÂN HUYỉNH MAÃN ẹAẽT	 NAấM HOẽC 2008 – 2009
ẹEÀ THI ẹEÀ NGHề MOÂN : TOAÙN
Thụứi gian : 180 phuựt
BÀI 6: ĐẠI SỐ-3Đ 
Cho và . Chứng minh rằng 
Nội dung
điểm 
Mệnh đề 1. 
Gọi 
1, Ta chứng minh:
(1) Nếu và thỡ 
(2) Nếu thỡ 
(3) Nếu thỡ 
Ta cú
Theo BĐT Cụsi, 
Ta chứng minh xong được (1).
(2) Từ đẳng thức trờn cho x = 1, ta cú 
(3) Xột hai trường hợp
TH 1. Nếu thỡ sử dụng kết quả (2) ta được 
TH2. Nếu thỡ vỡ nờn 
(thật vậy,
 )
Do đú sử dụng kết quả (2) ta cú 
Mệnh đề 1 được chứng minh xong. Nú sẽ cho phộp ta đưa bài toỏn về 1 biến.
Mệnh đề 2. Ta sẽ luụn đưa được bài toỏn về trường hợp cú 2007 biến bằng nhau và khụng lớn hơn 1.
Thật vậy,
Đưa về trường hợp cú 2007 biến khụng lớn hơn 1.
Giả sử cũn cú nhiều hơn 1 biến lớn hơn 1, giả sử rằng đú là . Khi đú sử dụng mệnh đề 1 (3) ta luụn cú thể thay bộ bởi 1 bộ khỏc, vẫn cú tớch bằng 1Sau hữu hạn lần thay (khụng quỏ 2007 lần) ta sẽ cú được bài toỏn 2007biến khụng lớn hơn 1.
Đưa 2007 biến khụng lớn hơn 1 về bằng nhau.
Giả sử là 2007 biến cú trung bỡnh nhõn là x. Nếu 2007 biến này chưa bằng nhau thỡ và sử dụng mệnh đề 1 ta cú thể thay toàn bộ 
Khi đú f khụng giảm và số biến tăng lờn ớt nhất 1 biến. 
Và (vỡ a1 là số dương nhỏ nhất trong số nờn )
do đú việc thay thế này vẫn đảm bảo 2007 biến khụgn lớn hơn 1, điều đú cho phộp việc thay thế đc thực hiện liờn tiếp. Sau hữu hạn lần thay thế ta sẽ cú 2007 biến đuề bằng nhau.
Cuối cựng, ta giải bài toỏn 1 biến, tức chứng minh với 
Đặt với 
Ta cú 
Ta thấy ngay với nờn suy ra điều phải chứng minh.
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25