Đề thi học sinh giỏi Đồng bằng sông Cửu Long – năm học 2008 - 2009 môn: Toán (đề nghị)

Tỉnh An Giang
Trường THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI ĐBSCL – Năm học 2008 - 2009
Môn: Toán (Đề nghị)
 Số mật mã Phần này là phách 
 Số mật mã
 Câu 1: (3.0 điểm)
Xác định để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
 Câu 2: (3.0 điểm)
Cho , là điểm thuộc miền trong tam giác. Gọi lần lượt là khoảng cách từ đến cạnh . Chứng minh . Dấu bằng xảy ra khi nào?
 là bán kính đường tròn ngoại tiếp .
 Câu 3: (2.0 điểm)
Tìm tất cả các cặp số với sao cho
 Câu 4: (3.0 điểm)
Cho dãy số thỏa mãn điều kiện 
Tìm 
 Câu 5: (3.0 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của số tự nhiên sao cho tận cùng đúng bằng 1987 chữ số 0.
Câu 6: (3.0 điểm)
Tìm các hàm thỏa
 Câu 7 : (3.0 điểm)
Cho hình cầu tâm , bán kính . Từ điểm bất kỳ trên mặt cầu kẻ 3 cát tuyến bằng nhau cắt mặt cầu tại và đôi một tạo với nhau một góc . Gọi là thể tích của tứ diện . Định để lớn nhất.
Tỉnh An Giang
Trường THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu
Môn: Toán (Hệ phương trình)
Tên giáo viên biên soạn: Phạm Quốc Cường.
 Số mật mã 
 Phần này là phách 
 Số mật mã 
 Câu 1: (3.0 điểm)
Xác định để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Hướng dẫn chấm
Nhận xét: Nếu là nghiệm của hệ thì cũng là nghiệm.	0.5 điểm
 Điều kiện cần để hệ có nghiệm có nghiệm duy nhất là .
Thay vào hệ, ta được 	0.5 điểm
Từ ta có 
* Xét , hệ trở thành 
 có vô số nghiệm là 	0.5 điểm
* Xét , hệ trở thành 
Dễ dàng có nghiệm là .	0.5 điểm
Giả sử là một nghiệm bất kỳ của . Khi đó:
.	0.5 điểm
Mặt khác 	0.5 điểm
Vậy là nghiệm duy nhất.
Đáp số: 
------------------------------------------------- 
Tỉnh An Giang
Trường THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu
Môn: Toán (Hình học phẳng)
Tên giáo viên biên soạn: Phan Phi Công.
 Số mật mã 
 Phần này là phách 
 Số mật mã 
 Câu 2: (3.0 điểm)
Cho , là điểm thuộc miền trong tam giác. Gọi lần lượt là khoảng cách từ đến cạnh . Chứng minh . Dấu bằng xảy ra khi nào?
 là bán kính đường tròn ngoại tiếp .
Hướng dẫn chấm
Gọi lần lượt là đường cao kẻ từ và lần lượt là diện tích tam giác . Ta có:
	1.0 điểm	
	0.5 điểm
	0.5 điểm	
	0.5 điểm
Dấu bằng xảy ra là trọng tâm tam giác đều.	0.5 điểm
------------------------------------------------- 
Tỉnh An Giang
Trường THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu
Môn: Toán (Số học)
Tên giáo viên biên soạn: Trần Xuân Danh .
 Số mật mã 
 Phần này là phách 
 Số mật mã 
 Câu 3: (2.0 điểm)
Tìm tất cả các cặp số với sao cho
Hướng dẫn chấm
Ta có 	
Mặt khác 	0.5 điểm
 hoặc 	
Vậy nếu hoặc thì phương trình vô nghiệm	0.5 điểm
Với 
Với 
Với 	0.5 điểm
Vậy phương trình có ba nghiệm 	0.5 điểm
------------------------------------------------- 
Tỉnh An Giang
Trường THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu
Môn: Toán (Dãy số)
Tên giáo viên biên soạn: Phạm Quốc Cường .
 Số mật mã 
 Phần này là phách 
 Số mật mã 
 Câu 4: (3.0 điểm)
Cho dãy số thỏa mãn điều kiện 
Tìm 
Hướng dẫn chấm
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương , ta có
	0.5 điểm
Như vậy, dãy số là dãy đơn điệu tăng	0.5 điểm
Ngoài ra dãy số bị chặn bởi .	0.5 điểm
 Tồn tại giới hạn 	0.5 điểm
Mặt khác 
	0.5 điểm
	0.5 điểm
Vậy 
------------------------------------------------- 
Tỉnh An Giang
Trường THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu
Môn: Toán (Tổ hợp)
Tên giáo viên biên soạn: Đào Thiện Lân.
 Số mật mã 
 Phần này là phách 
 Số mật mã 
 Câu 5: (3.0 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của số tự nhiên sao cho tận cùng đúng bằng 1987 chữ số 0
Hướng dẫn chấm
Giá trị của phải thỏa mãn việc khi phân tích ra thừa số nguyên tố thì thừa số 5 xuất hiện 1987 lần. 
Khi đó những số chẵn nhân với 5 thì cho thừa số 10.	0.5 điểm
Gọi là phần nguyên của . Ta có lũy thừa của 5 lớn nhất chia hết được cho bởi.
	0.5 điểm
Trong đó là số lớn nhất mà .
Số nhỏ nhất sao cho rõ ràng là bội của 5 và nó có thể viết dưới dạng
 trong đó 	0.5 điểm
Từ đó: 
Trong đó 	0.5 điểm
Thì . 	0.5 điểm
Ta có thể kết luận rằng
 thỏa mãn 
Vậy giá trị nhỏ nhất của là 7960	0.5 điểm
------------------------------------------------- 
Tỉnh An Giang
Trường THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu
Môn: Toán (Phương trình hàm)
Tên giáo viên biên soạn: Đào Thiện Lân.
 Số mật mã 
 Phần này là phách 
 Số mật mã 
 Câu 6: (3.0 điểm)
Tìm các hàm thỏa
Hướng dẫn chấm
* Cho , ta có:
	0.5 điểm
* Cho , ta có:
	0.5 điểm
* Cho , ta có:
	0.5 điểm
Lấy cộng với :
	0.5 điểm
Từ và , ta có:
	0.5 điểm
Suy ra: 	0.5 điểm
------------------------------------------------- 
Tỉnh An Giang
Trường THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu
Môn: Toán (Hình học không gian)
Tên giáo viên biên soạn: Phan Phi Công .
 Số mật mã 
 Phần này là phách 
 Số mật mã 
Câu 7: (3.0 điểm)
 Cho hình cầu tâm , bán kính . Từ điểm bất kỳ trên mặt cầu kẻ 3 cát tuyến bằng nhau cắt mặt cầu tại và đôi một tạo với nhau một góc . Gọi là thể tích của tứ diện . Định để lớn nhất.
Hướng dẫn chấm
* Dễ dàng chứng minh đều.	0.5 điểm
* Đặt ; là hình chiếu của trên .
Ta tính được 	0.5 điểm
	0.5 điểm
Mặt khác 
 ta có : 	0.5 điểm
Thay vào , ta được : 	0.5 điểm
Áp dụng bất đẳng thức Côsi : 
 khi và chỉ khi 	0.5 điểm
Đáp số :