Đè thi học sinh giỏi huyện môn: toán 8 năm học: 2012 - 2013 Trường THCS Vinh Xuân

Phịng GD- ĐT PHÚ VANG
==========
ĐÈ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN 
Mơn: Tốn 8
Năm học: 2012 - 2013
Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian phát đề )
----------------------------------------------
	Trường THCS Vinh Xuân.
	Gv ra đề: Phạm Xuân Bình
Bài 1: (4 điểm): 
Giải phương trình: (x2 – 4x)2 + 2(x – 2)2 = 43
Cho phương trình: 
Tìm giá trị m để phương trình vơ nghiệm.
Bài 2: (2 điểm): Chứng minh rằng:
 Nếu và a + b + c = abc thì ta cĩ 
Bài 3: (2 điểm): 
Cho S = + + + … + . 
Chứng minh rằng S >
Bài 4: (4 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị thì ta vần được một số chính phương.
Bài 5: (6 điểm):
Câu 1: Cho tam giác ABC nhọn. Dựng ra phía ngồi hai tam giác đều ABE; ACF, lại dựng hình hành AEPF. Chứng minh rằng PBC là tam giác đều.
Câu 2: Cho tam giác ABC cĩ BC = 15 cm, AC = 20 cm, AB = 25 cm.
Tính độ dài đường cao CH của tam giác ABC.
Gọi CD là đường phân giác của tam giác ACH. Chứng minh BCD cân.
Chứng minh: BC2 + CD2 + BD2 = 3CH2 + 2BH2 + DH2
Câu 6 :( 2điểm): 
Cho a, b là các số dương thỏa mãn a3 + b3 = a5 + b5. Chứng minh rằng: a2 + b2 1 + ab


----------------------------------------------------------------------------
(Giám thị coi thi khơng giải thích gì thêm)

Phịng GD- ĐT PHÚ VANG
==========
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐÈ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN 
Mơn: Tốn 8
Năm học: 2012 - 2013
----------------------------------------------


Câu
Nội dung bài giải
Điểm
Câu 1
(5 đ)
a/ 
Đặt x2-4x = t. Đk: t -4 
0,5

Khi đĩ ta cĩ được phương trình: t2 + 2t - 35=0 
 (t + 7)(t – 5) = 0
0,5

 t = -7 ( loại) hoặc t = 5
0,5

Với t = 5. Khi đĩ: x2 - 4x - 5=0 (x +1)(x – 5) = 0 x=5 hoặc x=-1
 Vậy S = { 5; -1}
0,5

b/ ĐK của PT (*) 
 x – m 0 
 x – 1 0 




0,25

Từ (*) => (x + 2)(x – 1) = (x + 1)(x – m)
 => mx = 2 – m (**)

0,5

- Với m = 0 thì PT (**) cĩ dạng : 0x = 2. Trường hợp này PT (**) vơ nghiệm (1)
0,5

- Với m 0 thì PT (*) cĩ nghiệm: x = 

0,5

Nghiệm x = là nghiệm của PT (*) khi nĩ phải thỏa mãn điều kiện: xm và x 1

0,5

Tức là : 

0,25

 
 

0,25

Như vậy PT (*) vơ nghiệm với các giá trị của m {-2 ; 0 ; 1}
0,25


Câu 2
(2đ)
Theo gt: nên a , b0, c0
0,25

Ta cĩ: 
0,5

 

0,5

Vì a + b + c = abc (gt) nên 
0,25

 ( đpcm)

0,5
Bài 3: (2đ)
Ta cĩ: 

0,25

Thay mỗi phân số trong từng nhĩm bằng phân số nhỏ nhất trong nhĩm ấy ta được:


	
0,5

	
0,5


0,5


0,25
Bài 4:
( 3đ)
 Gọi là số phải tìm a, b, c, d N, 
0,25

 với k, mN, 
 Ta cĩ: 
0,5

 
0,5

 Do đĩ: m2 – k2 = 1353 
 (m + k)(m – k) = 123.11= 41. 33 ( k + m < 200 ) 
0,5

 hoặc 
0,5

 (thỏa mãn) hoặc (loại) 
0,5

Vậy số cần tìm là: = 3136 
0,25














Bài 4:
(6 đ)













Câu 1:













Ta cĩ: AEPF là hình bình hành nên 


Xét EPB và FPC, ta cĩ: 
EB = FP ( = AE) ; EP = FC (= AF) và =( vì 600 - =600 - )
EPB = FPC ( c.g. c )
 Suy ra: PB = PC (1)
1

Ta cĩ: 
 mà Ê1 + Ê2 = 600
 Do đĩ Â3 = Ê2 
1

Xét EPB và ABC, ta cĩ: 
EB = AB; EP = AC ( = AF) và Â3 = Ê2 
EPB = ABC ( cgc )
Suy ra: PB = BC (2)
0,5

Từ (1) và (2) PB = PC = BC
Vậy PBC đều
0,5


Câu 2:




a. Dùng định lí Py-ta-go đảo chứng minh được: ABC vuơng tại C
0,25

Ta cĩ: SABC =AC.BC = AB.CH = 12 cm
0,5

b. Dể dàng tính được;
 HA = 16 cm ; BH = 9 cm 
0,25

CD là tia phân giác của ACH nên suy ra 
 AD = 10 cm ; HD = 6 cm.
0,5

Do đĩ BC = BD ( = 15 cm ) 
Vậy BDC cân tại B.
0,5

c. Xét các vuơng : CBH, CAH 


Ta cĩ: BC2 = BH2 + CH2 ( đl Py-ta-go)
 CD2 = DH2 + CH2 ( đl Py-ta-go)
0,5

 BD2 = BC2 = BH2 + CH2 ( đl Py-ta-go)
Từ đĩ suy ra BC2 + CD2 + BD2 = 3CH2 + 2BH2 + DH2

0,5



Bài 5 : ( 2đ )
Với 2 số a, b dương:
 Xét: a2 + b2 – ab 1
0,25

(a + b)(a2 + b2 – ab) (a + b) ( vì a + b > 0)
a3 + b3 a + b
0,5


(a3 + b3)(a3 + b3) (a + b)(a5 + b5) (vì a3 + b3 = a5 + b5 )
0,5

 a6 + 2a3b3 + b6 a6 + ab5 + a5b + b6
2a3b3 ab5 + a5b
0,25

ab(a4 – 2a2b2 + b4) 0
 đúng a, b > 0 .
Vậy: với a, b dương và a3 + b3 = a5 + b5
0,5


* Lưu ý: 
1. Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính tốn chính xác mới được điểm tối đa.
2. Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.