Đề thi học sinh giỏi khối 10 thời gian: 180 phút

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 10 – TỈNH ĐỒNG NAI
NGÀY 5 THÁNG 4 NĂM 2013
Thời gian: 180 phút
Câu 1. Cho tam giác ABC có với A,B,C tương ứng là kí hiệu số đo của các góc của tam giác ABC. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông.
Câu 2. Giải hệ phương trình 
Câu 3. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 
Câu 4. Cho các số nguyên m, n ,k thỏa và k không chia hết cho 3. Chứng minh rằng chia hết cho 3.
Câu 5. Cho đường tròn có tâm và đường tròn có tâm , biết hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm A, B. Vẽ tiếp tuyến chung d của hai đường tròn. Gọi C, D lần lượt là tiếp điểm của d với , ; biết A và C khác phía so với . Vẽ đường thẳng đi qua A và song song với d lần lượt cắt BD, BC tại E, F. Chứng minh rằng .
HƯỚNG DẪN GIẢI 
Câu 1. 
Cách 1 : Ta có: 
.
Pt cho ta tam giác ABC vuông tại A.
Cách 2: Ta có: 
Theo định li Pitago suy ra tam giác ABC vuông tai A
Câu 2. Giải hệ: ĐK: x – y 0
Xem phương trình (1) là pt bậc hai theo x nên ta có được hai nghiệm là:
 Với (loại vì )
 Với thay vào (2) ta được: ,
 đặt thay vào giải ta được: .
Vậy hệ đã cho có nghiệm là: .
Câu 3. (1)
Cách 1: Ta có: 
. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .
Cách 2: Đặt x = a + b, y = b + c, z = c + a.
Ta được dpcm.
Câu 4. 
Cách 1: Vì và k không chia hết cho 3(m, n, k là các số nguyên) nên m, n không chia hết cho 3. Suy ra .
Do nên , suy ra suy ra 
Suy ra đpcm.
Cách 2: Vì k không chia hết cho 3 nên suy ra (*).
Vì m.n không chia hết cho 3 nên m, n không chia hết cho 3. 
Giả sử m và n không cùng số dư khi chia cho 3 thì mâu thuẫn (*). 
Suy ra m, n chia cho 3 có cùng số dư. Vậy m – n chia hết cho 3.
Câu 5. Gọi , suy ra ( vì là phương tích của điểm G với hai đường tròn). Theo định lí Talet ta có: mà nên (đpcm).