Đề thi học sinh giỏi khối 11 – Môn: Toán

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 11 – NĂM HỌC 2008 – 2009.
MễN: TOÁN
Thời gian 120 phỳt.
Cõu 1: (2 điểm )
Giải phương trỡnh : .
Tớnh cỏc gúc của D ABC biết 
Cõu 2: (2 điểm )
 1. Cho dóy số (Un) cú 
 Tỡm .
 2. Tỡm 
Cõu 3: ( 1 điểm)
 Trờn đoạn [0; 1], phương trỡnh cú bao nhiờu nghiệm?
Cõu 4: ( 2 điểm)
 1. Cho ba số x, y, z dương thoả món 
 Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức .
 2. Chứng minh rằng ( ).
Cõu 5: ( 3 điểm)
 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a, SA = h vuụng gúc mặt phẳng (ABCD), M là điểm thay đổi trờn CD. Kẻ SH vuụng gúc với BM.
 1. Tỡm tập điểm H khi M thay đổi trờn CD. 
 2. Xỏc định vị trớ điểm M để diện tớch tam giỏc ABH lớn nhất. 
Hết.
ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11 (Năm học 2008 – 2009)
CÂU
í
NỘI DUNG
ĐIỂM
1
1
Do nờn pt đó cho trở thành:
0.25
0.25
0.25
0.25
2
Do nờn bài toỏn trở thành :
Do ; nờn VT của (*) khụng õm.
Suy ra (*) xảy ra dấu “=” 
Giải hệ phương trỡnh trờn ta được 
0.25
0.25
0.25
0.25
2
1
Do nờn với . 
Khi đú 
Suy ra 
Vậy 
0.25
0.25
0.25
0.25
2
Đặt . Do x đ+Ơ nờn y đ 0. Bài toỏn trở thành
0.25
0.25
0.25
0.25
3
Do nờn đặt , suy ra . Pt (1) đó cho trở thành:
Nhận thấy cost = 0 khụng phải là nghiệm, ta cú:
(2) 
Vỡ cho nờn k= 0, k = 1, l = 0, l = 1 thoả món.
Mặt khỏc: số nghiệm của pt (2) với bằng số nghiệm của pt (1) với .
Vậy, trờn đoạn pt (1) c0s bốn nghiệm 
 .
0.25
0.25
0.25
0.25
4
1
*Với ta cú: .(1)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.
*Áp dụng BĐT Cụsi và BĐT (1), kết hợp giả thiết , 
ta cú
Nhận thấy 
Vậy 
0.25
0.25
0.25
0.25
2
Ta thấy .
Lấy đạo hàm hai vế :
Cho x = 1, ta được 
0.25
0.25
0.25
0.25
5
1
 Do SA ^ (ABCD) nờn AH là hỡnh chiếu của SH trờn (ABCD), 
mà BM ^ AH (gt) ị BM ^ AH.
N luụn nhỡn AB dưới một gúc vuụng ị tập hợp điểm H là đường trũn đường kớnh AB thuộc mp(ABCD).
 Giới hạn tập hợp: Khi M º C thỡ H º B (chứng minh được BC ^ (SAB), khi M º D thỡ H º O ( O là tõm hv ABCD). Vậy quĩ tớch điểm H là cung BO của đường trũn núi trờn.
 Phần đảo : 
0.25
0.5
0.5
0.25
2
 Gọi K là hỡnh chiếu của H trờn AB.
Diện tớch tam giỏc ABH là . 
Smax Û HK max
 Trong DAHB . gọi ( ). Khi đú 
Nhận thấy 
Vậy diện tớch tam giỏc ABH lớn nhất khi M º D.
0.25
0.75
0.25
0.25