Đề thi học sinh giỏi khối 12 môn : toán thời gian làm bài : 180 phút

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 12
Môn : Toán 
 Thời gian làm bài : 180 phút
CÂU 1 : (4điểm) Cho f(x)=
1. Giải bất phương trình f(x)với m=
2. Tìm m để : (x-6)f(x)với mọi x
CÂU 2 : (4 điểm )
1. Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm 
2. Giải và biện luận phương trình :
CÂU 3: (4 điểm) Cho hàm số :
 y=	(1)
1.Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (1)
2. Tìm những điểm thuộc đồ thị hàm số có các toạ độ là các số nguyên
CÂU 4 : (6 điểm )
 1. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn : và điểm A(1;0)
một điểm M thay đổi trên đường tròn. Chứng minh rằng đường vuông góc với AM tại M luôn tiếp xúc với một conic cố định .
 2. Cho hình chữ nhật OABC có chu vi không đổi; O cố định các điểm A; B; C thay đổi . Chứng minh rằng đường vuông góc kẻ từ B vuông góc với đường chéo AC luôn đi qua một điểm cố định.
 3. Cho tam giác ABC vuông ở C. tìm những điểm P trong không gian thoả mãn : 
CÂU 5: (2 điểm )
 Tìm các hàm số f(x)xác định và có đạo hàm trên R thoả mãn điều kiện :
 f(x+y)=f(x).f(y); x,y .
 ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 12
Môn : Toán 
 Thời gian làm bài : 180 phút
Đáp án
điểm
Câu 1 (4 điểm ): 
 1. (2điểm) Đặt t= và :
 f(t)=(m-1)t-
1. m; f(t)<6
0,25
0,25
0,5
1,0
2. (2điểm )Với x=1, bất phương trình thoả mãn với mọi m
 Xét x Đặt h(x)=x-6
 h’(x)=1+6đồng biến trên và h(1)=0 
vậy ta cần tìm m sao cho : f(x)
Với t=6
Ta có : g’(x)=
Bảng biến thiên :
t
1 2 6
g(t)
 -	 0	+
g’(t)
 Từ mđứng với mọi t hay m
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu II: (4 điệm )
 1.(2đ) 
 Ta có :a<0 thì vô nghĩa
Vậy ta xét ađiều kiện x
i) khi a=0 
ii) khi a>0; điều kiện 
Đặt 
phương trình (*)
với thì 
Vậy để (*) có nghiệm thì 0< a 2
Vậy phương trình có nghiệm 0 a 2
0,25
0,5
0.5
0.25
0.25
0.25
2, (2 điểm) 
 Viết lại phương trình dưới dạng
 2x+ 2log2(x2+2) = 22+ 2..
 Xét hàm số f(t) = 2tlogt với t2
 f(t)= 2tlogt.ln2 + > 0 t 2
 hàm số đồng biến
 Khi đó phương trình có dạng : f(x2+2) = f(2+2 )
 x2+2 = 2+2 
 x2 = 2x +2a (1)
 hoặc -x2 = 2x +2a (2)
 a,giải và biện luận (1) : =1+2a 
 *<0 a< - (1) vô nghiệm
 *=0 a= - (1) có nghiệm kép x=
 *>0 a> - (1) có 2 nghiệm phân biệt x1,2=1
 b,giải và biện luận (2) : =1-2a
 * (2) vô nghiệm
 * = 0 a = (2) có nghiệm kép x=-
 * >0 a < (2) có 2 nghiệm phân biệt x1,2=-1
 Kết luận:
 + Với a < - phương trình có nghiệm : x =-1
 + Với a = - phương trình có nghiệm : x= ; x = -1 
 + Với-<a < phương trình có nghiệm : x = 1
 + Với a = phương trình có nghiệm : x= - ; x = 1 
+ Với a > phương trình có nghiệm : x =1
Câu 3 : (4 điểm )
 1. (3 điểm)
 y =
 TXĐ 
 y= 
 ý >0: hàm số đồng biến () và (;)
 y’<0 hàm số nghịch biến và 
 Cực đại (-3;-3); cực tiểu (-1; 1)
; suy ra đường thẳng x=-2 là tiệm cận đứng 
 y=x+1+; lim x+1 là tiện cận xiên 
 ; lim
 Bảng biến thiên :
x
 -3 -2 -1 +
y’
 + 0 - - 0 +
y
 -3	 + 	
-	 1
 Đồ thị : Giao với Oy tại (0;) y
 nhận I(-2; -1) làm tâm đối xứng 	
 3/2 
 1
 -3 -2 -1 x 
 O	
 -3
2. (1 điểm)
Hàm số y=
vì là ước của 1
vậy x+2=+1 hoặc x+2=-1
Vậy trên đồ thị hàm số có 2 điểm có toạ độ là các số nguyên là : (-1; 1) và (-3; -3)
 Câu IV: (6 điểm )
 1. (2 điểm)
Đường tròn : giả sử M(2cos); 
do đó phương trình đưòng thẳng vuông góc với AM tại M có phương trình :
 (2cos
M
phương trình () : (2cos (*)
Giả sử (x;y) là toạ độ các điểm không thuộc đường thẳng nào
 Phương trình (*) vô nghiệm 
 Xét (1) 
 ta có họ đường thẳng luôn tiếp xúc với elip trên
2. (2 điểm)
 Lập hệ trục Oxy; O gốc A,C thay đổi lần lượt thuộc Ox và Oy.
 A(a;0) ; C(0;c) B(a; c) 
 	y	
(a;c>0): a+c=b=hằng số
Phương trình AC: y= C(0;c)	B(a;c)
Đường thẳng qua B vuông góc với AC
 	O	A(a;0)
y= 
 =b(1- )
 Vậy : y = x + b(1- )
 Giả sử qua D ( x1; y1) cố định với mọi a và c
 (x1-b) – (y1-b) = 0 a;c
 Vậy luôn đi qua điểm D (b;b) cố định.
 3. (2 điểm )
Chọn hệ trục Cxyz như hình vẽ	z
	x
 A (a;0;0) ;B(0;b;0) C(0;0;0)	
	 A
 Gọi P(x;y;z)ta có
	C	
	B
	y
 x+ y+ z
(x-a)+ (y-b)+z 0	
 Vậy P(a;b;0)
Vậy tập hợp cần tìm có một điểm đó là đỉnh thứ tư của hình chữ nhật ACBP.
Câu 5 : (2 điểm)
 Nhận xét : f(x) =0 là một hàm số thỏa mãn điều kiện 
 . f(x+y) = f(x).f(y) * ; x ; y R 
 và có đạo hàm x R
 xét f(x) 0 . Khi đó tồn tại x R để f(x) 0 
 . Theo * thì 
 f(x) = f((x-x)+x) = f(x) .f(x-x)0;xR
 f(x) 0; xR
mặt khác ,từ * ta có f() = f(x) =(f())0 ; xR
 Lấy đạo hàm hai vế theo biến x và biến y của * ta có.
 Theo x : f(x+y) =f(x).f(y) : x ; y R 
 Theo x : f(x+y) =f(x).f(y) : x ; y R 
= ; x ; y R 
 Từ đó ta có (lnf(x).)=a f(x).= ea.x + b
 Thử lại ta có 
 f(x+y) =ea(x+y)+b 
 f(x).= ea.x + b
 f(y).= ea.y + b
 f(x).f(y)=ea.x+b+a.y+b
 Vậy b=0 Do đó : f(x)= ea.x ; x R 
 Kết luận f(x) 0 hoặc f(x)= ea.x ; a tùy ý ; x R 
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0,5
0.25
0.25
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
0,5
0,25
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25