Đề thi học sinh giỏi khu vực Đồng bằng sông Cửu Long lần thứ 16 (Đồng Tháp) môn: Toán học - Đề 1

SỞ GDĐT TỈNH ĐỒNG THÁP
TRƯỜNG THPT TP CAO LÃNH
ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ
KỲ THI HSG KV ĐBSCL LẦN THỨ 16
Môn : TOÁN HỌC
Câu 1: (3 điểm)
Giải bất phương trình: (1)
Bài giải
Điều kiện . Khi đó:
Giải hệ trên ta được 
Câu 2: (3 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O. Các tiếp tuyến với (O) tại B, C cắt nhau tại M, AM cắt BC tại N. Chứng minh rằng : .
Bài giải:
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B, C lên AM. Theo định lý Ta-lét, ta có
Theo giả thiết : 
Vậy (ĐPCM)
Câu 3: (2 điểm)
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a,b) sao cho 2a+1 chia hết cho b và 2b+1 chia hết cho a.
Bài giải
Giả sử a, b nguyên dương và 
Suy ra k, a, b đều lẻ. Vì 
Kết hợp với (1) suy ra 
Với , từ (2) ta suy ra . Rõ ràng thỏa mãn và 
Với , giả sử , ta có . Rõ ràng thỏa mãn và 
Với , giả sử , ta có hoặc hoặc 
+ Với , đẳng thức trở thành vô lý
+ Với , ta có . Rõ ràng thỏa mãn điều kiện 
	+ Với , ta có (loại)
	Với lý lưận tương tự ta được thỏa mãn điều kiện 
Tóm lại : Có 5 cặp (a ,b) thỏa mãn yêu cầu bài toán là 
Câu 4: (3 điểm)
Tìm giới hạn của dãy với 
Bài giải
Ta có:
Vậy .
Câu 5: (3đ) 
Cho hình hộp chử nhật có độ dài ba kích thước là các số tự nhiên. Các mặt của hình hộp được sơn màu xanh. Chia hình hộp này thành các khối lập phương đơn vị bằng các mặt phẳng song song với các mặt của hình hộp. Tìm các kích thước của hình hộp , biết rằng số các khối lập phương đơn vị không có mặt nào màu xanh bằng tổng số các khối lập phương đơn vị.
Bài giải:
Giả sử độ dài 3 cạnh hình hộp chử nhật (hhcn) là .
Từ đkbt, suy ra x và 
0,5
Vì nên khi x ta có
0,5
Do đó x6, suy ra x = 3, x = 4, x = 5 hoặc x = 6.
1) Nếu x = 3 thì ( y – 2)(z – 2) = yz , điều này không thể xảy ra.
0,5
2) Nếu x = 4 , ta có 2( y – 2)(z – 2) = (y – 6)(z – 6) = 24
Lúc đó (x,y,z)= (4,7,30) ; (4,8,18) ; (4,9,14) ; (4,10,12)
0,5
3) Nếu x = 5 , ta có 3(y – 2)(z – 2) = (2y – 9)(2z – 9) = 45
Lúc đó (x,y,z) = (5,5,27) ; (5,6,12) ; (5,7,9)
0,5
4) Nếu x = 6 thì 4(y – 2)(z -2) = 2yz (y -4)(z – 4) = 8. Ta có nghiệm duy nhất (6,6,8)
0,5
Tóm lại, có 8 kết quả cho 3 kích thước hhcn là: (4,7,30) ; (4,8,18) ; (4,9,14) ; (4,10,12) ; (5,5,27) ; (5,6,12) ; (5,7,9) ; (6,6,8).
Câu 6 : (3đ)
	Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n cho trước phương trình :
	có đúng một nghiệm số thực. Gọi nghiệm số thực ấy là xn. Hãy tìm .
Bài giải:
 Ta thấy không phải là nghiệm của phương trình . Thật vậy 
Nếu Vế trái âm.
Nếu 0 0.
Nếu thì .
Xét hàm có với x > 1 mà f(1) = -1 < 0 nên tồn tại duy nhất 1 < xn để f ( xn ) = 0.
Theo BĐT Cauchy :	
Vì 	 mà nên :	
Câu 7: (3đ)
Cho đường tròn (O,R) và một đường kính PQ cố định của đường tròn. Trên tia PQ ta lấy một điểm S cố định ( khác P và Q). Với mỗi điểm A thuộc đường tròn ta dựng tia Px vuông góc với tia PA và nằm cùng phía với nó đối với đường thẳng PQ. Gọi B là giao điểm của Px và SA. Tìm tập hợp điểm B, khi điểm A di động trên đường tròn (O,R).
Bài giải:
Gọi B’ là giao điểm thứ hai của Px với đường tròn (O), khi đó AB’ là đường kính của (O). Gọi d là đường thẳng qua B và d // AB’, O’ là giao điểm của d và PQ.
Ta thấy hai tam giác OPB’ và O’PB đồng dạng, mà tam giác OPB’ cân tại O, nên tam
giác O’PB cân tại O’. Từ đẳng thức 
0,5
Suy ra ta đặt k = , k là một số không đổi và
(*) được viết lại dưới dạng (**) .
1
Hệ thức (**) chứng tỏ O’là ảnh của O qua phép vị tự tâm S, hệ số vị tự k = ,
Do đó O’ cố định.
0,5
Mặt khác từ , ta suy ra và B là ảnh của A qua phép vị tự đó.
0,5
Vậy tập hợp điểm B là một đường tròn (O’) ảnh của đường tròn (O) qua phép vị tự 
 với k = .
0,5
______HẾT______