Đề thi học sinh giỏi lớp 10 năm 2011 môn thi: toán thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề

A. Phần chung: ( 16,0 điểm)
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
 TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU 1 
 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10 NĂM 2011
 Mụn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phỳt, khụng kể thời gian phỏt đề.
Bài I ( 5,0 điểm)
Cho phương trỡnh: (1)
Tỡm m để phương trỡnh cú một nghiệm duy nhất.
Khi (1) cú 2 nghiệm . Tỡm m nguyờn dương nhỏ nhất sao cho tớch hai nghiệm là một số nguyờn . 
Bài II (6,0 điểm)
1. Giải phương trỡnh: . (1) 
2. Giải hệ phương trỡnh sau : 
 Bài III(2,0 điểm). Cho cỏc số dương 
 Chứng minh rằng: 
Bài IV (3,0điểm)
 Cho tam giỏc ABC cú trọng tõm G. Gọi A1, B1, C1 lần lượt là hỡnh chiếu vuụng gúc của G xuống cạnh BC, AC, AB. Chứng minh rằng: . (Với a=BC, b=AC, c=AB).
B. Phần riờng: ( 4,0 điểm)
Bài Va. (Dành cho ban khoa học tự niờn).
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích bằng , A(2; - 3), B(3; - 2). Trọng tâm G của tam giác ABC thuộc đường thẳng (d) có phương trình: 3x- y- 8 = 0. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Bài Vb. (Dành cho ban khoa học cơ bản).
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giỏc ABC cú diện tớch bằng 2 và đường thẳng AB cú phương trỡnh x-y=0. Biết rằng điểm I(2;1) là trung điểm của đoạn thẳng BC, tỡm toạ độ trung điểm K của đoạn thẳng AC.
 ----------Hết---------
Họ và tờn thớ sinh:..; Số bỏo danh:
 ĐÁP ÁN –THANG ĐIỂM
 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10 NĂM HỌC 2011
	 MễN:TOÁN
Bài
ý
Nội dung
Điểm
I(5,0 đ)
1.(2,0đ)
Tỡm m để phương trỡnh cú một nghiệm duy nhất
TH1: : , (Thỏa món)
0,5
TH2: PT (1) cú nghiệm duy nhất khi 
1,0
Vậy với thỡ phương trỡnh (1) cú nghiệm. 
0,5
2.(3,0 đ)
Tỡm m nguyờn dương nhỏ nhất sao cho tớch hai nghiệm là một số nguyờn
PT (1) cú 2 nghiệm khi , 
1,0
Theo viet: P=
 khi 
Vậy m nguyờn dương nhỏ nhất thỏa mó là: m=1
0,5
0,5
0,5
0,5
II(6,0đ)
1.(3,0đ)
Giải phương trỡnh
III.(2đ)
IV.(3,0đ) 
Va.
ĐK: . 
 Đặt .
 Phương trỡnh trở thành .
 Với : Phương trỡnh đó cho cú nghiệm .
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
2.(3,0đ)
Giải hệ phương trỡnh:
Điều kiện: 
Hệ đó cho tương đương với hệ:
0,5
Giải (Ia): 
Giải (Ib): Từ (1), (2) ta cú: 
 Theo BĐT CễSI: 
Vậy (Ib) vụ nghiệm. 
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta cú:.
Suy ra: 
Tương tự ta cú: 
Cộng (1), (2) và (3) theo vế với vế ta cú: .
Dấu “=” xảy ẩ khi và chỉ khi 
0,5
0,5
0,5
0,5
(3,0đ)
(2)
Ta cú: ,
0,5
0,5
4ý 1,0
1,0
(4,0đ)
Gọi C(a; b)
S = CH.AB (1).
Ta có: AB = 
0,5
0,5
0,5
Phương trình AB: x - y - 5 = 0 => CH = d(C, AB) = 
Do đó: (1) .
Toạ độ G()
Ta có: G ẻ D 3a - b = 4.
0,5
TH1: => C(-2; -10) 
0,5
Chu vi tam giác: 2p = AB + BC + CA = 
=> r = .
0,5
TH2: => C(1; -1) 
0,5
Chu vi tam giác: 2p = AB + BC + CA = 
=> r = .
0,5
Vb( 4,0đ)
 (4,0đ)
Đường thẳng IK qua I và song song với AB cú phương trỡnh x-y-1=0. 
Chiều cao kẻ từ C của tam giỏc ABC là: 
Ta cú đường trũn tõm I bỏn kớnh 
Toạ độ K là nghiệm của hệ :
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Chỳ ý: Cỏc cỏch giải khỏc đỳng thỡ vẫn cho điểm.
 ---------------------------Hết---------------------------