Đề thi học sinh giỏi lớp 11 Trường THPT Tân Kỳ năm học 2013 - 2014 môn: Toán

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
Trường THPT Tân Kỳ
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11
NĂM HỌC 2013 - 2014
MÔN : TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm có 01 trang)
Câu 1.(3 điểm) Cho phương trình: (Với m là tham số)
Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc 
Câu 2 . (4 điểm) Cho A, B, C là ba góc của tam giác ABC.
a, Chứng minh rằng tam giác ABC vuông nếu : 
b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
Câu 3: (3 điểm) Giải phương trình: 
Câu 4: (2 điểm) Cho k là số tự nhiên thỏa mãn 
Chứng minh rằng: . 
Câu 5. (2 điểm) Cho dãy {un} xác định bởi: 
Thành lập dãy: {Sn} xác định bởi: . Tìm 
Câu 6: (2 điểm) Tìm sao cho phần nguyên của là một số nguyên tố.
Câu7.(2 điểm) Trong mp Oxy cho hai đường tròn (C1) : , (C2) : .
Gọi giao điểm có tung độ dương của (C1) và (C2) là A viết phương trình đường thẳng đi qua A cắt (C1) và (C2) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau.
Câu 8: (4 điểm) Cho tứ diện ABCD có các cạnh: BC = DA = a; CA = DB = b; AB = DC = c.
 .Chứng minh rằng:
 (S là diện tích toàn phần của tứ diện) 
---------- Hết ----------
Họ và tên :.......................................................... Số báo danh :.......................................
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11
NĂM HỌC 2013 - 2014
MÔN : TOÁN HỌC
(Đáp án và biểu điểm gồm có 04 trang)
Câu
Lời giải
Điểm
Câu1
Phương trình đã cho tương đương với : 
Với 
Để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm thuộc thì phương trình : vô nghiệm hoặc có hai nghiệm .
Từ đó ta được m 3 v m =0 .
0.5
1.0
1.0
0.5
Câu 2
a, Chứng minh rằng tam giác ABC vuông nếu : 
Từ 
 là góc vuông.Vậy tam giác ABC vuông tại A.
b, . Biến đổi về 
Vậy MaxM = 3 khi tam giác ABC đều.
1.0
1.0
0.5
0.5
0.5
0.5
Câu 3:
Giải phương trình: ĐK: 
Với 
Giải (*) được t = 2 thỏa mãn yêu cầu
Nên 
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Câu 4
Cho k là số tự nhiên thỏa mãn 
Chứng minh rằng: 
Dễ thấy ; và
Ta có hệ số của trong P là .
 Vì , mà số hạng chứa trong M.N là : nên 
0.5
0.5
0.5
0.5
Câu 5
Tacó:
 Suy ra un là dãy tăng
 Giả sử un bị chặn trên lúc đó tồn tại số L sao cho . Từ (*) ta có: (vô lý)
 Þ un không bị chặn trên. Suy ra 
Mặt khác : 
Tương tự 
Cộng vế theo vế ta được : 
 Þ 
0.5
0.5
0.5
0.5
Câu 6
Câu 7
Gọi S là tập hợp các số nguyên tố
Trường hợp 1: 
Trường hợp 2: 
Trường hợp 3: 
Kết luận: 
(C1) có tâm O(0;0),bán kính 
(C2) có tâm I(6;0),bán kính .
Giao điểm của (C1) và (C2) là A (2;3) và B(2;-3).Với A có tung độ dương nên A(2;3) 
Đường thẳng d qua A có pt:a(x-2)+b(y-3)=0 hay ax+by-2a-3b=0
 Gọi 
Yêu cầu của bài toán trở thành:
*b=0 ,chọ a=1,suy ra pt d là:x-2=0
*b=-3a ,chọ a=1,b=-3,suy ra pt d là:x-3y+7=0
1.0
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Câu 8
*Diện tích các mặt của tứ diện bằng nhau và bằng abc/4R=S/4
*BĐT tương đương a2+b2+c2 9R2
*Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
 a2+b2+c2=
 =6R2-2()
 =9R2-()2 
*Dấu bằng xảy ra khi O trùng trọng tâm G tam giác ABCtam giác ABC đềuABCD là tứ diện đều.
0.5
0.5
0.5
0.5
Giáo viên ra đề:
Nguyễn Thái Lâm